Homogenes Polynom

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Ein Polynom heißt homogen, falls alle Monome, aus denen das Polynom besteht, den gleichen Grad haben.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und R[X_1, \dots, X_n] der Polynomring über R in n Unbestimmten. Ein Monom ist dann ein Polynom p \in R[X_1, \dots, X_n], für das ein \alpha \in R mit

p = \alpha X_1^{i_1} \cdot\dots\cdot X_n^{i_n}

existiert. Der Grad dieses Monoms ist

\mathrm{deg}(p)=i_1 + \dots + i_n.

Ein Polynom in R[X_1, \dots, X_n] wird homogen genannt, wenn es eine Summe von Monomen gleichen Grades ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • f \in R[X_1, \dotsc, X_n] ist genau dann homogen vom Grad k, wenn in R[X_1,\dotsc, X_n][T] gilt:
f(TX_1,\dotsc, TX_n)=T^k\cdot f(X_1,\dotsc,X_n).[1]
  • Bei einem Polynomring über einem Integritätsring ist ein Produkt von Polynomen genau dann homogen, wenn jeder Faktor homogen ist.[2]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jedes Monom ist homogen.
  • Die Menge aller homogenen Polynome in R[X], dem Polynomring in einer Variablen über R, ist gegeben durch
\{ a X^n \; | \; a \in R, \; n \in \mathbb{N} \cup \{ 0 \} \}.
  • Einfache Beispiele für homogene Polynome in \mathbb{Z}[ X, Y ] (siehe ganze Zahlen):
    • X^4 - Y^4 ist homogen wegen \deg( X^4 ) = \deg( Y^4 ) = 4.
    • X^7 + 5 X^3 Y^4 + X Y^6 ist homogen wegen \deg( X^7 ) = \deg( X^3 Y^4 ) = \deg( X Y^6 ) = 7.
  • Beispiele für nicht-homogene Polynome in \mathbb{Q}[ X, Y, Z ] (siehe rationale Zahlen):
    • X^4 Z - \frac{3}{4} Y Z^2 ist nicht homogen wegen \deg( X^4 Z ) = 5 \neq 3 = \deg( Y Z^2 ).
    • X^3 Y^3 Z^2 - 3 X^2 Y^6 - \frac{7}{3} Y^5 ist nicht homogen wegen \deg( X^3 Y^3 Z^2 ) = \deg( X^2 Y^6 ) = 8 und \deg( Y^5 ) = 5.

Graduierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, indem man alle Monome gleichen Grades zusammenfasst. Der Polynomring lässt sich also als eine direkte Summe schreiben:

R[X_1,\ldots,X_n]=\bigoplus_{d\geq0}A_d,

wobei

A_d=\bigoplus_{e_1+\ldots+e_n=d,\ e_i\geq0}R\cdot X_1^{e_1} \cdot\dots\cdot X_n^{e_n}

die Menge der homogenen Polynome vom Grad d zusammen mit dem Nullpolynom ist. Es gilt

A_d\cdot A_{d'}\subseteq A_{d+d'},

der Polynomring ist also ein graduierter Ring.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein heißen in einem graduierten Ring

\bigoplus_{d\geq0}A_d

die Elemente aus A_d homogen vom Grad d.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Lemma.
  2. Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Produkt homogener Polynome.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]