Homogenes Polynom

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Ein Polynom heißt homogen, falls alle Monome, aus denen das Polynom besteht, den gleichen Grad haben.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein kommutativer Ring mit Eins und der Polynomring über in Unbestimmten. Ein Monom ist dann ein Polynom , für das ein mit

existiert. Der Grad dieses Monoms ist

Ein Polynom in wird homogen genannt, wenn es eine Summe von Monomen gleichen Grades ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist genau dann homogen vom Grad , wenn in gilt:
[1]
  • Bei einem Polynomring über einem Integritätsring ist ein Produkt von Polynomen genau dann homogen, wenn jeder Faktor homogen ist.[2]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jedes Monom ist homogen.
  • Die Menge aller homogenen Polynome in , dem Polynomring in einer Variablen über , ist gegeben durch
  • Einfache Beispiele für homogene Polynome in (siehe ganze Zahlen):
    • ist homogen wegen
    • ist homogen wegen
  • Beispiele für nicht-homogene Polynome in (siehe rationale Zahlen):
    • ist nicht homogen wegen
    • ist nicht homogen wegen und

Graduierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jedes Polynom lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von homogenen Polynomen verschiedenen Grades schreiben, indem man alle Monome gleichen Grades zusammenfasst. Der Polynomring lässt sich also als eine direkte Summe schreiben:

wobei

die Menge der homogenen Polynome vom Grad zusammen mit dem Nullpolynom ist. Es gilt

der Polynomring ist also ein graduierter Ring.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein heißen in einem graduierten Ring

die Elemente aus homogen vom Grad d.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Lemma.
  2. Fischer: Lehrbuch der Algebra. 2013, S. 169, Produkt homogener Polynome.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]