Homologiesphäre

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine Homologiesphäre bezeichnet in der Mathematik eine -dimensionale Mannigfaltigkeit , deren Homologiegruppen isomorph zu denen der gewöhnlichen -Sphäre sind oder expliziter ausgedrückt eine -dimensionale Mannigfaltigkeit , für deren singulären Homologiegruppen

und

für alle anderen

gelten.

Aus der Homologie kann man ablesen, dass eine kompakte, zusammenhängende Mannigfaltigkeit ohne Rand ist. Im Allgemeinen ist jedoch nicht einfach zusammenhängend: Teilt man die Fundamentalgruppe durch ihre Kommutatorgruppe dann erhält man eine Gruppe, die isomorph zur ersten Homologiegruppe ist. Das bedeutet aus kann man lediglich schließen, dass die Fundamentalgruppe eine perfekte Gruppe, also zu ihrer Kommutatorgruppe isomorph ist, nicht aber dass trivial sein muss.

Historisch wurden Homologiesphären zuerst in der -dimensionalen Topologie betrachtet.

Poincaré glaubte anfangs, dass der Homologiering ausreichen müsste, um die -dimensionale Standardsphäre eindeutig zu charakterisieren. Er entdeckte aber ein Gegenbeispiel (die sogenannte Poincaré-Homologiesphäre) und formulierte dann die schärfere Poincaré-Vermutung (bei der zusätzlich gefordert wird), die erst ca. 100 Jahre später von Perelman bewiesen wurde.

Eine Anwendung des Satz von Hurewicz und des Satz von Whitehead zeigt, dass jede einfach zusammenhängende -dimensionale Homologiesphäre eine Homotopiesphäre, d.h. homotopieäquivalent zur Sphäre sein muss. Aus der Poincaré-Vermutung bzw. ihrem höherdimensionalen Analogon für folgt dann, dass sie auch homöomorph zur ist. Auch in höheren Dimensionen gibt es also Homologiesphären nur für .

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]