Hurwitzsche Zeta-Funktion

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Die Hurwitzsche Zeta-Funktion (nach Adolf Hurwitz) ist eine der vielen bekannten Zeta-Funktionen, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt.

Die formale Definition für komplexe lautet

Die Reihe konvergiert absolut und kann zu einer meromorphen Funktion erweitert werden für alle

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist dann

Analytische Fortsetzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion kann zu einer meromorphen Funktion fortgesetzt werden, sodass sie für alle komplexen definiert ist. Bei liegt ein einfacher Pol mit Residuum 1 vor.

Es gilt dann

unter Verwendung der Gammafunktion und der Digammafunktion .

Reihendarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Helmut Hasse fand 1930[1] diese Reihendarstellung:

Laurent-Entwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Laurent-Entwicklung um lautet:

wobei die Verallgemeinerten Stieltjes-Konstanten sind:

Fourier-Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

[2]

Integraldarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hurwitz-Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Formel von Hurwitz ist eine Darstellung der Funktion für und Sie lautet:[3]

wobei

Dabei bezeichnet den Polylogarithmus.

Funktionalgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle und gilt

Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da sich für und die Riemannsche Zeta-Funktion bzw. diese multipliziert mit einer einfachen Funktion von ergibt, führt dies zu der komplizierten Nullstellenberechnung der Riemannschen Zeta-Funktion mit der Riemannschen Vermutung.

Für diese q hat die Hurwitzsche Zeta-Funktion keine Nullstellen mit einem Realteil größergleich 1.

Für und gibt es dagegen Nullstellen für jeden Steifen mit einem positiv-reellen . Dies wurde für rationale und nicht-algebraische-irrationale von Davenport und Heilbronn[4] bewiesen; für algebraische irrationale von Cassels.[5]

Rationale Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion tritt etwa im Zusammenhang mit den Euler-Polynomen auf:[6]

und

Ferner gilt

mit . Dabei werden und wie folgt mit der legendreschen Chi-Funktion definiert:

Weitere[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt (Auswahl):[7]

(Riemannsche Zeta-Funktion, Catalansche Konstante)

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt

[8]

bzw.

[9]

mit dem Pochhammer-Symbol.

Beziehungen zu anderen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bernoulli-Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die im Abschnitt Hurwitz-Formel definierte Funktion verallgemeinert die Bernoulli-Polynome :

Alternativ kann man sagen, dass

Für ergibt das

Jacobische Theta-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit , der Jacobischen Theta-Funktion gilt

Ist ganz, vereinfacht sich dies zu

( mit einem Argument steht für die Riemannsche Zeta-Funktion!)

Polygammafunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion verallgemeinert die Polygammafunktion auf nicht-ganze Ordnungen :

mit der Euler-Mascheroni-Konstanten .[10]

Auftreten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hurwitzschen Zeta-Funktionen finden an verschiedenen Stellen Anwendung, nicht nur in der Zahlentheorie. Sie tritt bei Fraktalen und dynamischen Systemen ebenso wie im zipfschen Gesetz auf.

In der Teilchenphysik kommt sie in einer Formel von Julian Schwinger[11] vor, die ein genaues Resultat für die Paarbildungs-Rate von in der Dirac-Gleichung beschriebenen Elektronen in Feldern gibt.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung der Hurwitzschen Zeta-Funktion bietet

,

so dass

Diese Funktion wird als Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet.

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion lässt sich durch die Hypergeometrische Funktion ausdrücken:[12]

Außerdem gilt mit der Meijerschen G-Funktion:[13]

Literatur und Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Helmut Hasse: Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe In: Mathematische Zeitschrift. Band 32, 1930, S. 458–464.
  2. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/06/03/01/01/0001/
  3. Eric W. Weisstein: Hurwitz's Formula. In: MathWorld (englisch).
  4. H. Davenport und H. Heilbronn: On the zeros of certain Dirichlet series. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 11, 1936, S. 181–185
  5. J. W. S. Cassels: Footnote to a note of Davenport and Heilbronn. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 36, 1961, S. 177–184
  6. Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski: Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments. In: Mathematics of Computation. Band 68, 1999, S. 1623–1630.
  7. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/03/ShowAll.html
  8. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/01/01/0001/
  9. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/02/01/0001/
  10. Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
  11. J. Schwinger: On gauge invariance and vacuum polarization. In: Physical Review. Band 82, 1951, S. 664–679.
  12. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/01/02/01/
  13. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/02/01/01/