Hyperbel (Mathematik)

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Die Hyperbel ist einer der Kegelschnitte.
Hyperbel in der Architektur: Kathedrale von Brasilia

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. Sie zählt neben dem Kreis, der Parabel und der Ellipse zu den Kegelschnitten, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Kreiskegel entstehen (s. Bild).

Wie Ellipse und Parabel lassen sich Hyperbeln als Ortskurven in der Ebene definieren (s. Abschnitt Definition).

Die Hyperbel wurde von Menaichmos entdeckt. Die von Apollonios von Perge eingeführte Bezeichnung kommt aus dem Griechischen und bezieht sich auf die Übertreibung (ὑπερβολή, hyperbolé, von altgriechisch βάλλειν bállein „werfen“, ὑπερβάλλειν hyperballein „über das Ziel hinaus werfen“) des Schnittwinkels (oder der numerischen Exzentrizität , s. unten) beim Kegelschnitt: Mit steigendem Schnittwinkel verwandelt sich der Kreis () erst zu immer länglicheren Ellipsen und dann über die Parabel ( und die schneidende Ebene ist parallel zu einer Tangentialebene des Kegels) zu Hyperbeln mit .[1]

Definition einer Hyperbel als Ortskurve[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbel: Definition und Asymptoten

Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte der Zeichenebene , für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den sogenannten Brennpunkten und , konstant gleich ist:

Der Mittelpunkt der Brennpunkte heißt Mittelpunkt der Hyperbel. Die Verbindungsgerade der Brennpunkte ist die Hauptachse der Hyperbel. Auf der Hauptachse liegen die beiden Scheitel im Abstand vom Mittelpunkt. Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität und wird üblicherweise mit bezeichnet. Die in der Einleitung erwähnte dimensionslose numerische Exzentrizität ist .

Dass der Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die steiler ist als die Mantellinien des Kegels und die Kegelspitze nicht enthält, eine Hyperbel ist, zeigt man, indem man die obige definierende Eigenschaft mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweist (s. Abschnitt Hyperbel als Kegelschnitt).

Bemerkung: Die Gleichung lässt sich auch so interpretieren:

Ist der Kreis um mit Radius , so hat vom Kreis denselben Abstand wie vom Brennpunkt :
Man nennt einen Leitkreis der Hyperbel.

Hyperbel in 1. Hauptlage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichung der Hyperbel erhält eine besonders einfache Form, wenn sie in 1. Hauptlage liegt, das heißt, dass die beiden Brennpunkte auf der -Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1. Hauptlage haben also die Brennpunkte die Koordinaten und , und die Scheitel haben die Koordinaten und .

Für einen beliebigen Punkt in der Ebene ist der Abstand zum Brennpunkt gleich und zum anderen Brennpunkt . Der Punkt liegt also genau dann auf der Hyperbel, wenn die Differenz dieser beiden Ausdrücke gleich oder gleich ist.

Durch algebraische Umformungen und mit der Abkürzung kann man zeigen, dass die Gleichung

zur Gleichung

äquivalent ist. Letztere Gleichung nennt man die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage.

Scheitel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Hyperbel besitzt nur zwei Scheitel: und . Im Gegensatz zur Ellipse sind hier und keine Kurvenpunkte. Letztere werden deswegen auch imaginäre Nebenscheitel genannt. Die Gerade durch die Nebenscheitel heißt Nebenachse. Die Hyperbel liegt symmetrisch zur Haupt- und Nebenachse.

Asymptoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbel: Halbachsen a,b, lin. Exzentrizität e, Halbparameter p

Löst man die Hyperbelgleichung nach auf, so erhält man

Hier erkennt man, dass sich die Hyperbel für betragsmäßig große an die Geraden

beliebig dicht annähert. Diese Geraden gehen durch den Mittelpunkt und heißen die Asymptoten der Hyperbel

Halbparameter p[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die halbe Länge einer Hyperbelsehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch Quermaß oder nur Parameter) der Hyperbel. Er lässt sich berechnen durch

Weitere Bedeutung von :

ist der Scheitelkrümmungskreisradius,

d. h., ist der Radius desjenigen Kreises durch einen Scheitel, der sich an die Hyperbel im Scheitel am besten anschmiegt. (Siehe unten: Formelsammlung/Scheitelgleichung.)

Tangente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt findet man am einfachsten durch implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung :

Unter Berücksichtigung von ergibt sich:

Gleichseitige Hyperbel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Hyperbel, für die gilt, heißt gleichseitige Hyperbel. Ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander. Die lineare Exzentrizität ist , die numerische Exzentrizität und der Halbparameter ist .

Parameterdarstellung mit Hyperbelfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den Hyperbelfunktionen ergibt sich eine (zur Ellipse analoge) Parameterdarstellung der Hyperbel :

Hyperbel in 2. Hauptlage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vertauscht man und , so erhält man Hyperbeln in 2. Hauptlage:

Hyperbel mit einer Gleichung y=A/x[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Drehung des Koordinatensystems zur Beschreibung einer gleichseitigen Hyperbel als Graph einer Funktion
3 gleichseitige Hyperbeln mit den Koordinatenachsen als Asymptoten
rot: A=1, magenta: A=2; blau: A=3

Dreht man das x-y-Koordinatensystem um den Winkel und nennt die neuen Koordinaten , so ist .
Die gleichseitige Hyperbel (die Halbachsen sind gleich lang !) hat in den neuen Koordinaten die Gleichung . Löst man diese Gleichung nach auf, erhält man

Also ist (in einem x-y-Koordinatensystem) der Graph der Funktion mit der Gleichung

  • eine gleichseitige Hyperbel mit
  • den Koordinatenachsen als Asymptoten,
  • der Gerade als Hauptachse ,
  • dem Mittelpunkt und den Halbachsen
  • den Scheiteln
  • dem Halbparameter und Scheitelkrümmungskreisradius
  • der linearen Exzentrizität und der numerischen Exzentrizität
  • der Tangente im Punkt

Dreht man die ursprüngliche Hyperbel um , so erhält man eine gleichseitige Hyperbel mit der Gleichung

  • mit
  • den Halbachsen
  • der Gerade als Hauptachse ,
  • den Scheiteln

Verschiebt man die Hyperbel mit der Gleichung so, dass der Punkt der Mittelpunkt der verschobenen Hyperbel ist, so hat die verschobene Hyperbel die Gleichung

Die verschobene Hyperbel hat die Asymptoten und .
Die Parameter ändern sich bei einer Verschiebung nicht.

Hyperbel als Kegelschnitt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbel (rot): Auf- und Seitenriss eines Kegels mit Dandelinschen Kugeln d1, d2

Schneidet man einen senkrechten Kreiskegel mit einer Ebene , deren Neigung größer als die Neigung der Mantellinien des Kegels ist und die nicht durch die Kegelspitze geht, so ergibt sich eine Hyperbel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. der Brennpunkte (s. oben) führt man mit Hilfe zweier Dandelinscher Kugeln , das sind Kugeln, die den Kegel in Kreisen bzw. und die Hyperbel-Ebene in Punkten bzw. berühren. Es stellt sich heraus, dass die Brennpunkte der Schnitthyperbel sind.

  1. sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve.
  2. Die Mantellinie durch schneidet den Kreis in einem Punkt und den Kreis in einem Punkt .
  3. Die Strecken und sind tangential zur Kugel und damit gleich lang.
  4. Die Strecken und sind tangential zur Kugel und damit auch gleich lang.
  5. Also ist und damit unabhängig vom Hyperbelpunkt .

Tangente als Winkelhalbierende[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbel: Tangente als Winkelhalbierende der Brennstrahlen

Für eine Hyperbel gilt:

  • Die Tangente in einem Punkt ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen

Zum Beweis verwendet man den Hilfspunkt auf dem Brennstrahl , der von den Abstand hat (s. Bild, ist die Halbachse der Hyperbel). Die Gerade ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen. Um nachzuweisen, dass die Tangente im Punkt ist, zeigt man, dass jeder von verschiedene Punkt von nicht auf der Hyperbel liegen kann. Also kann die Hyperbel nur im Punkt schneiden und ist damit die Tangente in . Aus der Zeichnung ist ersichtlich (Dreiecksungleichung), dass ist, d. h., es ist . Wenn ein Hyperbelpunkt wäre, müsste die Differenz gleich sein.

Leitlinien-Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbel: Leitlinien-Eigenschaft

Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand . Für einen beliebigen Punkt der Hyperbel ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Leitlinie gleich der numerischen Exzentrizität:

Zum Beweis zeigt man, dass für und die Gleichung

erfüllt ist.

Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Leitlinie) sowie eine reelle Zahl mit vorgeben und eine Hyperbel definieren als

  • Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich ist.

Wählt man , so erhält man eine Parabel. Für ergibt sich eine Ellipse.

Zum Beweis geht man von und der Vorgabe, dass ein Kurvenpunkt ist, aus. Die Leitlinie wird dann durch die Gleichung beschrieben. Für folgt aus

und hieraus

Mit der Abkürzung erhält man

Dies ist die Scheitelgleichung einer Ellipse (), einer Parabel () oder einer Hyperbel (). Siehe Abschnitt Formelsammlung.

Führt man im Fall neue Konstanten so ein, dass ist, so geht die Scheitelgleichung in

über. Dies ist die Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt , x-Achse als Hauptachse und Halbachsen .

Steiner-Erzeugung einer Hyperbel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbel: Steiner-Erzeugung
Hyperbel y=1/x: Steiner-Erzeugung

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Hyperbel zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten (alle Geraden durch den Punkt bzw. ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.[2][3]

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Hyperbel gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln aus. Seien nun ein Punkt der Hyperbel und . Wir unterteilen die Rechteckseite in n gleiche Stücke und übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen auf die Strecke (s. Bild). Die benutzte Parallelprojektion vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in und . Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden und liegen dann auf der durch die Vorgaben eindeutig bestimmten Hyperbel.

Bemerkung: Die Unterteilungen lassen sich jenseits der Punkte bzw. fortsetzen, um weitere Punkte zu konstruieren. Da aber dann schleifende Schnitte und eine sehr ungleiche Punkteverteilung auftreten, ist es besser, die Konstruktion der obigen Punkte symmetrisch auf die anderen Hyperbelteile zu übertragen (s. Animation).

Bemerkung:

  1. Auch für Ellipsen und Parabeln gibt es die Steiner-Erzeugung. Im Parabelfall lässt sich die Behauptung leicht nachrechnen.
  2. Die Steiner-Erzeugung wird auch Parallelogramm-Methode genannt, da man statt der Scheitel auch andere Hyperbelpunkte auf einem Hyperbeldurchmesser verwenden kann. Dann tritt ein Parallelogramm statt eines Rechtecks auf.

Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel

Eine andere Definition der Hyperbel benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel definiert. Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form , wobei eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und ein beliebiger Vektor ist. Sind die Spaltenvektoren der Matrix , so wird die Einheitshyperbel auf die Hyperbel

abgebildet. ist der Mittelpunkt, ein Punkt der Hyperbel und Tangentenvektor in diesem Punkt. stehen i. a. nicht senkrecht aufeinander. D. h. sind i. A. nicht die Scheitel der Hyperbel. Aber sind die Richtungsvektoren der Asymptoten. Diese Definition einer Hyperbel liefert eine einfache Parameterdarstellung einer beliebigen Hyperbel.

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Hyperbelpunkt

ist, ergibt sich der Parameter eines Scheitels aus der Gleichung

und damit aus

zu

Es wurden die Formeln benutzt.

Falls ist, ist und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform.

Die zwei Scheitel der Hyperbel sind

Aus

und den Additionstheoremen für die Hyperbelfunktionen ergibt sich die Scheitelform der Parameterdarstellung der Hyperbel:

Beispiele:

Hyperbel als Graph der Funktion y=1/x (Beispiel 3)
Hyperbel: Transformation auf Scheitelform (Beispiel 5)
  1. liefert die übliche Parameterdarstellung der Hyperbel mit der Gleichung
  2. liefert die Parameterdarstellung der Hyperbel, die aus der Hyperbel durch Drehung um den Winkel und anschließende Verschiebung um hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D. h., sind die Scheitel der Hyperbel.
  3. liefert die Hyperbel mit der Gleichung Beim Nachweis von verwende man
  4. Bildet man die Hyperbel mit affinen Abbildungen der Form ab, so erhält man die Schar aller Hyperbeln mit achsenparallelen Asymptoten. Der Mittelpunkt solch einer Hyperbel ist Die Besonderheit dieser Hyperbelschar ist, dass sie sich als Funktionsgraphen darstellen lassen.
  5. Die Parameterdarstellung
einer Hyperbel ist nicht in Scheitelform.
Der Scheitelparameter ergibt sich aus zu
Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:
Die Scheitel sind und
die Halbachsen

Bemerkung: Sind die Vektoren aus dem , so erhält man eine Parameterdarstellung einer Hyperbel im Raum.

Hyperbel als affines Bild der Hyperbel y=1/x[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Einheitshyperbel zur Hyperbel äquivalent ist (s. o.), kann man eine beliebige Hyperbel auch als affines Bild der Hyperbel auffassen:

ist der Mittelpunkt der Hyperbel, zeigen in Richtung der Asymptoten und ist ein Punkt der Hyperbel.

Für den Tangentenvektor ergibt sich

In einem Scheitel steht die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht, d. h., es ist

Also ist der Scheitelparameter

Für ist und sind die Scheitel der Hyperbel.

Tangentenkonstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Tangenten-Konstruktion: Asymptoten und P gegeben → Tangente

Der Tangentenvektor kann durch Ausklammern von so geschrieben werden:

D. h., in dem Parallelogramm ist die Diagonale parallel zur Tangente im Hyperbelpunkt (s. Bild). Diese Eigenschaft bietet eine einfache Möglichkeit, die Tangente in einem Hyperbelpunkt zu konstruieren.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.[4]

Punktkonstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Punkt-Konstruktion: Asymptoten und P1 gegeben → P2

Eine weitere Eigenschaft einer Hyperbel erlaubt die Konstruktion von Hyperbelpunkten, falls die Asymptoten und ein Punkt der Hyperbel bekannt sind:

Für eine Hyperbel mit der Parameterdarstellung (der Mittelpunkt wurde der Einfachheit halber als Nullpunkt angenommen) gilt:

Sind zwei Hyperbelpunkte, so liegen die Punkte

auf einer Geraden durch den Mittelpunkt (s. Bild). Der einfache Beweis ergibt sich aus .

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 4-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.[5]

Tangenten-Asymptoten-Dreieck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbel: Tangenten-Asymptoten-Dreieck

Für die folgenden Überlegungen, nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Mittelpunkt sich im Nullpunkt (0,0) befindet und dass die Vektoren die gleiche Länge haben. Falls Letzteres nicht der Fall sein sollte, wird die Parameterdarstellung zuerst in Scheitelform gebracht (s. o.). Dies hat zur Folge, dass die Scheitel und die Nebenscheitel sind. Also ist und .

Berechnet man die Schnittpunkte der Tangente in dem Hyperbelpunkt mit den Asymptoten, so erhält man die beiden Punkte

Der Flächeninhalt des Dreiecks lässt sich mit Hilfe einer 2×2-Determinante ausdrücken:

S. Rechenregeln für Determinanten. ist der Flächeninhalt der von aufgespannten Raute. Der Flächeninhalt einer Raute ist gleich der Hälfte des Diagonalenproduktes. Die Diagonalen dieser Raute sind die Halbachsen . Also gilt:

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist unabhängig vom Hyperbelpunkt

Affine Selbstabbildungen der Hyperbel y=1/x[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nicht jede affine Abbildung der reellen affinen Ebene (s. vorigen Abschnitt) bildet die Hyperbel auf eine andere Hyperbel ab. Die folgenden affinen Abbildungen lassen die Hyperbel als Ganzes invariant:

Spezialfälle:

  1. Für bleibt jeder Punkt der Ebene fest. Diese Abbildung heißt Identität.
  2. Für wird jeder Punkt der Hyperbel bewegt, d. h., es gibt keinen Fixpunkt auf der Hyperbel.
  3. Für ist die Abbildung die Punktspiegelung am Nullpunkt.
  4. Für ist die Abbildung die „normale“ Spiegelung an der Geraden .
  5. Für ist die Abbildung die Schrägspiegelung an der Gerade in Richtung der Geraden . (Siehe Abschnitt Mittelpunkte paralleler Sehnen.)

Mittelpunkte paralleler Sehnen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbel: Die Mittelpunkte paralleler Sehnen liegen auf einer Geraden.
Hyperbel: Der Mittelpunkt einer Sehne halbiert auch die Sehne der Asymptoten.

Für jede Hyperbel gilt:

  • Die Mittelpunkte paralleler Sehnen (s. Bild) liegen auf einer Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel.

D. h., zu jedem Punktepaar einer Sehne gibt es eine Schrägspiegelung an einer Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel, die die Punkte vertauscht und die Hyperbel auf sich abbildet. Dabei versteht man unter einer Schrägspiegelung eine Verallgemeinerung einer gewöhnlichen Spiegelung an einer Geraden , bei der alle Strecken Punkt-Bildpunkt zwar zueinander parallel, aber nicht unbedingt senkrecht zur Spiegelachse sind.

Den Nachweis dieser Eigenschaft führt man am einfachsten an der Hyperbel durch. Da alle Hyperbeln affine Bilder der Einheitshyperbel und damit auch von der Hyperbel sind und bei einer affinen Abbildung Mittelpunkte von Strecken in die Mittelpunkte der Bildstrecken übergehen, gilt die obige Eigenschaft für alle Hyperbeln.

Bemerkung: Die Punkte der Sehne dürfen auch auf verschiedenen Ästen der Hyperbel liegen.

Eine Folgerung dieser Symmetrie ist: Die Asymptoten der Hyperbel werden bei der Schrägspiegelung vertauscht und der Mittelpunkt einer Hyperbelsehne halbiert auch die zugehörige Strecke zwischen den Asymptoten, d. h., es gilt . Diese Eigenschaft kann man benutzen, um bei bekannten Asymptoten und einem Punkt beliebig viele weitere Hyperbelpunkte zu konstruieren, indem man die jeweilige Strecke zur Konstruktion von verwendet.

Entartet die Sehne zu einer Tangente, so halbiert der Berührpunkt den Abschnitt zwischen den Asymptoten.

Pol-Polare-Beziehung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbel: Pol-Polare-Beziehung

Eine Hyperbel lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem immer durch eine Gleichung der Form beschreiben. Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt ist Lässt man in dieser Gleichung zu, dass ein beliebiger vom Nullpunkt verschiedener Punkt der Ebene ist, so wird dem Punkt die Gerade zugeordnet. Diese Gerade geht nicht durch den Mittelpunkt der Hyperbel.

Umgekehrt kann man

der Geraden den Punkt bzw.
der Geraden den Punkt

zuordnen. Solch eine Zuordnung Punkt ↔ Gerade nennt man eine Polarität oder Pol-Polare-Beziehung. Der Pol ist der Punkt, die Polare ist die zugehörige Gerade.

Die Bedeutung dieser Pol-Polare-Beziehung besteht darin, dass die möglichen Schnittpunkte der Polare eines Punktes mit der Hyperbel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Hyperbel sind.

  • Liegt der Punkt (Pol) auf der Hyperbel, so ist seine Polare die Tangente in diesem Punkt (s. Bild: ).
  • Liegt der Pol außerhalb der Hyperbel, so sind die Schnittpunkte der Polare mit der Hyperbel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Hyperbel (s. Bild: ).
  • Liegt der Punkt innerhalb der Hyperbel, so hat seine Polare keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel (s. Bild: ).

Zum Beweis: Die Bestimmung der Schnittpunkte der Polare eines Punktes mit der Hyperbel und die Suche nach Hyperbelpunkten, deren Tangenten den Punkt enthalten, führen auf dasselbe Gleichungssystem.

Bemerkungen:

  1. Der Schnittpunkt zweier Polaren (z. B. im Bild: ) ist der Pol der Verbindungsgeraden der zugehörigen Pole (hier: ).
  2. Der Brennpunkt bzw. und die Leitlinie bzw. sind zueinander polar.
  3. Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel haben keine Pole. Man sagt: „Ihre Pole liegen auf der Ferngeraden.“
  4. Der Mittelpunkt der Hyperbel hat keine Polare, „sie ist die Ferngerade“.
  5. Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Ellipsen und Parabeln. Siehe auch projektiver Kegelschnitt.
Hyperbel mit orthoptischer Kurve (lila)

Orthogonale Tangenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Orthoptische Kurve

Für eine Hyperbel liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis . (Im Fall gibt es keine orthogonalen Tangenten.)

Diesen Kreis nennt man die orthoptische Kurve der gegebenen Hyperbel.

Hyperbeln der Form y=a/(x−b)+c[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbeln der Form sind Funktionsgraphen, die durch die drei Parameter eindeutig bestimmt sind. Man benötigt also drei Punkte, um diese Parameter zu ermitteln. Eine schnelle Methode beruht auf dem Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln.

Hyperbel: Peripheriewinkelsatz

Um einen Winkel zwischen zwei Sehnen zu messen, führen wir für zwei Geraden, die weder zur x- noch zur y-Achse parallel sind, ein Winkelmaß ein:

Für zwei Geraden messen wir den zu gehörigen Winkel mit der Zahl .

Zwei Geraden sind parallel, wenn und damit das Winkelmass gleich 1 ist.

Analog zum Peripheriewinkelsatz für Kreise gilt hier der

Peripheriewinkelsatz (für Hyperbeln):

Für vier Punkte (s. Bild) gilt:
Die vier Punkte liegen nur dann auf einer Hyperbel der Form , wenn die Winkel bei und im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn:

(Beweis durch Nachrechnen. Dabei kann man für die eine Richtung voraussetzen, dass die Punkte auf einer Hyperbel y=a/x liegen.)

3-Punkte-Form einer Hyperbel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog zur 2-Punkte-Form einer Geraden (Steigungswinkel werden mit der Steigung gemessen) folgt aus dem Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln die

3-Punkte-Form (für Hyperbeln):

Die Gleichung der Hyperbel durch drei Punkte ergibt sich durch Auflösen der Gleichung
nach y.

Formelsammlung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbelgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Hyperbel mit Mittelpunkt (0|0) und x-Achse als Hauptachse erfüllt die Gleichung

Die Asymptoten der zugehörigen Hyperbel sind die Geraden:

Brennpunkte sind:

Eine Hyperbel mit Mittelpunkt und der Geraden als Hauptachse erfüllt die Gleichung

Eine beliebige Hyperbel, deren Asymptoten die Geraden mit den Gleichungen sind, besitzt eine Gleichung der Form

Z. B.: Sind die Asymptoten die Koordinatenachsen , ergeben sich alle Hyperbeln mit einer Gleichung .

Scheitelgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kegelschnitt-Schar

Die Schar der Hyperbeln, deren Achse die x-Achse, ein Scheitel der Punkt (0,0) und der Mittelpunkt (–a,0) ist, lässt sich durch die Gleichung

beschreiben.

Für Hyperbeln gilt . Setzt man in dieser Gleichung

, so erhält man einen Kreis,
für eine Ellipse,
für eine Parabel.

Die Kegelschnitte haben bei gleichem Halbparameter alle denselben Krümmungskreisradius im Scheitel S:

Parameterdarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelpunkt (0|0), x-Achse als Hauptachse:

1:
2:
3: (Darstellung mit rationalen Funktionen).

In Polarkoordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyperbel: Polardarstellung, Pol = Mittelpunkt
Hyperbel: Polardarstellung, Pol = Brennpunkt

Man beachte

  1. im ersten Fall (Pol ist der Mittelpunkt der Hyperbel), dass der Radikand negativ werden kann. Für solche Winkel ergeben sich keine Hyperbelpunkte.
  2. Im zweiten Fall (Pol ist ein Brennpunkt der Hyperbel) liegen auf jedem Strahl, für den der Nenner nicht 0 ist, zwei Hyperbelpunkte (wegen ). Für ergeben sich die beiden Scheitel.

Winkel zur Hauptachse, Pol im Mittelpunkt (0,0):

Winkel zur Hauptachse, Pol in einem Brennpunkt (s. Kegelschnitt):

Tangentengleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt

Mittelpunkt , Hauptachse parallel zur x-Achse, Berührpunkt

Krümmungskreisradius[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Krümmungskreisradius der Hyperbel in den beiden Scheiteln ist

(wie bei einer Ellipse in den Hauptscheiteln).

Hyperbeln als ebene Schnitte von Quadriken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Flächen zweiter Ordnung (Quadriken) besitzen Hyperbeln als ebene Schnitte:

Hyperbel y=1/x über einem beliebigen Zahlkörper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man in einer affinen Ebene über einem beliebigen (kommutativen) Körper die Punktmenge, die der Hyperbelgleichung genügt, so bleiben viele Eigenschaften des reellen Falls, die mit „schneiden“, „verbinden“ und „parallel“ formuliert werden und deren Beweise nur Multiplikation/Division und Addition/Subtraktion verwenden, erhalten.[2] Z. B.:

  • Eine Gerade schneidet die Hyperbel in höchstens zwei Punkten.
  • Durch jeden Hyperbelpunkt gibt es außer den achsenparallelen Geraden genau eine Gerade, die mit der Hyperbel nur den Punkt gemeinsam hat, die Tangente: . Eine Gerade ohne Schnittpunkt heißt Passante, eine mit zwei Schnittpunkten Sekante.

Unterschiede zum reellen Fall:

  1. Für (rationale Zahlen) ist die Gerade eine Passante, denn die Gleichung hat in keine Lösung.
  2. Für (komplexe Zahlen) gibt es keine Passanten. Z. B.: schneidet die Hyperbel in den Punkten .
  3. Hat der Körper die Charakteristik 2 (d. h., es gilt 1 + 1 = 0), so gibt es unter den Geraden keine Sekanten, da jede Gleichung im Fall Charakteristik 2 höchstens eine Lösung hat (es gibt kein „“). Die Tangente im Hyperbelpunkt hat (bei Charakteristik 2) die Gleichung . D. h., alle Tangenten gehen durch den Nullpunkt (0,0).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb.), Eberhard Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, S. 24.
  2. a b Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF; 180 kB). Kurzskript, TU Darmstadt, S. 12–16.
  3. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. B. G. Teubner, Leipzig 1867. 2. Teil, S. 96. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  4. Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, S. 33, (PDF; 757 kB)
  5. Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, S. 32, (PDF; 757 kB)
  6. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. TU Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 108.
  7. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. TU Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 118.
  8. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. TU Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 123.