Hyperbelfunktion

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Sinus Hyperbolicus (rot)
Kosinus Hyperbolicus (blau)
Tangens Hyperbolicus (grün)
Kosekans Hyperbolicus (rot)
Sekans Hyperbolicus (blau)
Kotangens Hyperbolicus (grün)

Zu den Hyperbelfunktionen gehören:

sinh und cosh sind für alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph. Die übrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginären Achse.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel im Punkt , wobei die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild an der -Achse, und der Hyperbel ist.

Definition über die Exponentialfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mittels der Exponentialfunktion können sinh und cosh wie folgt definiert werden:

Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch (mit rein imaginärer Periode). Die Potenzreihen von cosh(z) und sinh(z) entstehen aus denen von cos(z) und sin(z), indem alle Minuszeichen durch Pluszeichen ersetzt werden.

Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Name Hyperbelfunktionen stammt daher, dass sie zur Parametrisierung der Hyperbel verwendet werden können:

ganz in Analogie zum Kreis , der durch Sinus und Kosinus parametrisiert werden kann:

Die Funktionen stellen eine Verbindung her zwischen der Fläche , die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der -Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird, und der Länge verschiedener Strecken.

Dabei ist sinh(A) die (positive) -Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und cosh(A) die dazugehörige -Koordinate. tanh(A) ist die -Koordinate der Geraden bei , d. h. die Steigung der Geraden.

Berechnet man die Fläche durch Integration, erhält man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion.

Eigenschaften der reellen Hyperbelfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der reellen Hyperbelfunktionen
  • Für alle reellen Zahlen sind auch und reell.
  • Die reelle Funktion ist streng monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.
  • Die reelle Funktion ist für Werte streng monoton fallend, für Werte streng monoton steigend und besitzt bei ein globales Minimum.

Wegen gelten alle Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen, die im nachfolgenden Absatz aufgeführt sind, auch für die Funktionen, die auf die reellen Zahlen eingeschränkt sind.

Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle komplexen Zahlen gilt:

Symmetrie und Periodizität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • , d. h. sinh ist eine ungerade Funktion.
  • , d. h. cosh ist eine gerade Funktion.
  • ,

d. h. es liegt rein „imaginäre Periodizität“ vor mit minimaler Periodenlänge .

Additionstheoreme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zusammenhänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung des Sinus Hyperbolicus lautet:

.

Die Ableitung des Kosinus Hyperbolicus lautet:

.

Die Ableitung der Tangens Hyperbolicus lautet:

.

Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktionen und bilden wie und eine Basis der (linearen) Differentialgleichung

.

Fordert man allgemein für die beiden Basislösungen dieser Differentialgleichung 2-ter Ordnung noch und , so sind sie bereits eindeutig durch sinh und cosh festgelegt. Sprich, diese Eigenschaft kann ebenfalls als Definition dieser beiden Hyperbelfunktionen herangezogen werden.

Bijektivität der komplexen Hyperbelfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

sinh[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

Dann bildet die komplexe Funktion den „Streifen“ bijektiv auf ab.

cosh[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:

Dann bildet die komplexe Funktion den „Streifen“ bijektiv auf ab.

Alternative Namen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
  • Für sind auch die Namen hsin, Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
  • Für sind auch die Namen hcos, Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich. Der Graph entspricht der Kettenlinie (Katenoide).

Abgeleitete Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Tangens Hyperbolicus
  • Cotangens Hyperbolicus
  • Secans Hyperbolicus
  • Cosecans Hyperbolicus

Umrechnungstabelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktion

Umkehrfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Area-Funktionen.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Kreisfunktionen

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ilja N. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Deutsch (Harri).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Hyperbolic functions – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien