Hypergeometrische Funktion

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Dieser Artikel erläutert die allgemeine hypergeometrische Funktion; die (gewöhnliche) hypergeometrische Funktion wird unter Gaußsche hypergeometrische Funktion erläutert.

Die allgemeine hypergeometrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die die geometrische Reihe verallgemeinert. Sie wird zur Klasse der speziellen Funktionen gezählt.

Die allgemeine hypergeometrische Funktion enthält viele wichtige Funktionen als Spezialfälle, allen voran die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. In der Tat gibt es eine große Zahl von Funktionen, die sich als eine hypergeometrische Funktion schreiben lassen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine hypergeometrische Funktion wird definiert durch

,

wobei die Gammafunktion ist. Durch die Wahl der Koeffizienten und werden schließlich spezielle hypergeometrische Funktionen konstruiert, etwa die Kummersche hypergeometrische Funktion
() oder mit und die Gaußsche hypergeometrische Funktion.

Spezielle hypergeometrische Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion 0F0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Exponentialfunktion

Wie eingangs angedeutet, entspricht der Exponentialfunktion. Die Funktion erfüllt die Differentialgleichung:

Die Funktion 0F1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion vom Typ ist die sog. konfluente hypergeometrische Grenzfunktionen. Die Reihe genügt der Differentialgleichung:

Sie steht eng in Zusammenhang mit den Besselfunktionen:

wobei die Besselfunktion ist
mit als modifizierte Besselfunktion

Abgeleitete Funktionen der Reihe sind beispielsweise:

oder

.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet werden soll die Kosinusfunktion:

Hier nutzten wir, dass ist und somit usw. Wie man sieht, kürzen sich die Terme überall heraus; die verbleibenden Brüche kann man leicht zusammenfassen zu

Die Funktion 1F0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ebenfalls direkt als alementare Funktion erhalten, erfüllt die Differentialgleichung:

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Versuchen wir, das Polynombeispiel für a=1 zu beweisen:

Da die Gammafunktion bei ganzzahlig negativen Werten Singularitäten aufweist, müssen hier streng genommen Grenzwerte gebildet werden. Im Grenzfall gehen dann gegen 0, weil der Zähler endlich, der Nenner jedoch unendlich wird. Bei den ersten beiden Gliedern gehen Zähler wie Nenner im Bruch gegen unendlich. Da es sich jeweils um einfache Polstellen handelt, haben die Quotienten aber endliche Grenzwerte: und . Übrig bleibt das endliche Polynom 1+z. Diese Vorgehensweise ist immer die gleiche, wenn man Polynome als hypergeometrische Funktion schreiben will.

Die Funktion 1F1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion heißt Kummersche Funktion (nach Ernst Eduard Kummer). Sie wird vielfach auch als konfluente hypergeometrische Reihe bezeichnet und genügt der Kummerschen Differentialgleichung:

Abgeleitete Funktionen sind beispielsweise:

wobei die unvollständige Gammafunktion ist

oder

Die Funktion 2F0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion taucht in Zusammenhang mit der Integralexponentialfunktion Ei(z) auf.

Die Funktion 2F1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Historisch am bedeutendsten ist die hypergeometrische Funktion . Sie wird auch als Gaußsche hypergeometrische Funktion, gewöhnliche hypergeometrische Funktion, oder oft einfach nur als hypergeometrische Funktion bezeichnet. Zur Unterscheidung wird für pFq die Bezeichnung Allgemeine hypergeometrische Funktion verwendet, da sonst leicht Verwechslungsgefahr besteht. Die Funktion wurde als erstes vollständig von Carl Friedrich Gauß untersucht, insbesondere zur Konvergenz. Sie erfüllt die Differentialgleichung

,

welche als Hypergeometrische Differentialgleichung bezeichnet wird.

Die Funktion 3F0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion taucht in Zusammenhang mit dem Mottpolynom auf.

Die Funktion 3F1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion taucht in Zusammenhang mit der Besselfunktion auf.

Weitere Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die hypergeometrische Funktion kann noch weiter verallgemeinert werden, indem man Vorfaktoren vor dem k einführt und so die Komplexität der Funktion weiter erhöht. Allein um das Vorzeichen von k zu modifizieren wären zwei weitere Indizes nötig:

Sind diese Vorfaktoren nicht notwendig ganzzahlig, so erhält man als Verallgemeinerung die Fox–Wright Funktionen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]