IP-Menge

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In der Mathematik bezeichnet der Begriff IP-Menge eine Menge natürlicher Zahlen, die alle endlichen Summen einer unendlichen Menge enthält.

Die endlichen Summen einer Menge von natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die sich als Summe der Elemente einer nichtleeren endlichen Teilmenge von darstellen lassen. Die Menge aller endlichen Summen von wird auch als bezeichnet; dabei steht FS für Finite Sums.

Eine Menge von natürlichen Zahlen ist eine IP-Menge, falls eine unendliche Menge existiert, so dass in enthalten ist.

Manchmal wird auch eine leicht abweichende Definition verwendet: man verlangt dann, dass sogar für ein passendes ist.

Die Bezeichnung IP-Menge (IP-set) geht auf Hillel Fürstenberg und Barak Weiss zurück; IP steht dabei für "Infinite-dimensional Parallelepiped".

Der Satz von Hindman[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Hindman, oder auch das Finite Sums Theorem, lautet wie folgt:

Ist eine IP-Menge und , so ist wenigstens eine der Mengen eine IP-Menge.

Da die Menge der natürlichen Zahlen selbst auch eine IP-Menge ist und man Partitionen auch als Färbungen auffassen kann, lässt sich folgender Spezialfall des Satzes von Hindman formulieren:

Sind die natürlichen Zahlen mit Farben gefärbt, so gibt es für mindestens eine Farbe eine unendliche Menge , so dass alle Elemente von und sogar alle endlichen Summen von die Farbe haben.

Halbgruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die IP-Eigenschaft kann man nicht nur für die natürlichen Zahlen, die mit der Addition eine Halbgruppe bilden, definieren, sondern auch ganz allgemein für Halbgruppen und partielle Halbgruppen.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]