Ideal (Verbandstheorie)

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In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eines Verbandes eine Teilmenge die bezüglich beider Verbandsoperationen und bezüglich sogar mit Elementen aus dem gesamten Verband abgeschlossen ist. Die Bezeichnung ist angelehnt an den Begriff des Ideals in der Ringtheorie.

Definition für Verbände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Verband. Ein Ideal von ist eine nicht leere Teilmenge von für die gilt:

  • ist ein Unterverband von und
  • für alle und ist

Allgemeine Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Halbordnung heißt bedingter Oberhalbverband (englisch conditional upper semi-lattice, kurz: Cusl), falls jedes beschränkte Paar ein Supremum besitzt, also falls für alle gilt: Existiert mit , so existiert eine kleinste obere Schranke .[1]

Sei ein Cusl. Eine nicht-leere Teilmenge heiße ein Ideal von , falls gelten:

  • ist nach unten abgeschlossen, d. h. für , und gilt .
  • Sind in beschränkt, d. h. es gibt ein mit , so ist .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Offenbar ist jeder Verband ein Cusl; in einem Verband definiert man als .

Die allgemeine Definition schließt die für Verbände mit ein.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Viggo Stoltenberg-Hansen, Ingrid Lindstrom und Edward R. Griffor: Mathematical theory of domains. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 1994.