Idealklassengruppe

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Die Idealklassengruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie. Sie ist ein Maß dafür, wie weit der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkörper davon entfernt ist, eindeutige Primfaktorzerlegung zu besitzen. Ihre Ordnung wird Klassenzahl genannt.

Definition (für Dedekindringe)[Bearbeiten]

Es sei A ein Dedekindring mit Quotientenkörper K, beispielsweise der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkörper. Dann ist die Idealklassengruppe \operatorname{Pic}A definiert als die Faktorgruppe

\operatorname{Pic}A=J_A/P_A.

Dabei ist

IJ=\left\{\left.\sum_{i=1}^n a_ib_i\right|a_i\in I,b_i\in J\right\},
Die Gruppe J_A ist die freie abelsche Gruppe auf den Primidealen von A.
  • P_A die Untergruppe der gebrochenen Hauptideale, d.h. der Untermoduln der Form
(a)=A\cdot a\subset K
für a\in K^{\times}.

Im Fall von Zahlkörpern schreibt man meist \operatorname{Cl}_K für \operatorname{Pic}A.

Die Äquivalenzklassen der Faktorgruppe können auch explizit so beschrieben werden: Zwei gebrochene Ideale I und J sind äquivalent, wenn es ein Element \lambda\in K^\times gibt, so dass I=\lambda J gilt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

Für einen algebraischen Zahlkörper K gibt es eine Erweiterung H/K, den (kleinen) hilbertschen Klassenkörper. Die Galoisgruppe \operatorname{Gal}(H/K) ist kanonisch isomorph zur Idealklassengruppe, und jedes Ideal von K wird in H zu einem Hauptideal.

Literatur[Bearbeiten]