Idealklassengruppe

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Die Idealklassengruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie. Sie ist ein Maß dafür, wie weit der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkörper davon entfernt ist, eindeutige Primfaktorzerlegung zu besitzen. Ihre Ordnung wird Klassenzahl genannt.

Definition (für Dedekindringe)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Dedekindring mit Quotientenkörper , beispielsweise der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkörper. Dann ist die Idealklassengruppe definiert als die Faktorgruppe

Dabei ist

  • die Gruppe der gebrochenen Ideale, d.h. der endlich erzeugten -Untermoduln von , die nicht nur die Null enthalten, mit dem Produkt
Die Gruppe ist die freie abelsche Gruppe auf den Primidealen von .
  • die Untergruppe der gebrochenen Hauptideale, d.h. der Untermoduln der Form
für .

Im Fall von Zahlkörpern schreibt man meist für .

Die Äquivalenzklassen der Faktorgruppe können auch explizit so beschrieben werden: Zwei gebrochene Ideale und sind äquivalent, wenn es ein Element gibt, so dass gilt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist genau dann trivial, d.h. die Klassenzahl ist 1, wenn ein Hauptidealring ist, und das ist äquivalent dazu, dass es in eine eindeutige Primfaktorzerlegung gibt.
  • Ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers , so ist endlich.
  • Eine Verallgemeinerung des Konzepts der Idealklassengruppe liefert die Algebraische K-Theorie. Wenn der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers ist, dann ist .
  • Die Klassenzahlformel setzt die Klassenzahl eines Zahlkörpers in Zusammenhang mit dem Residuum seiner Dedekindschen Zeta-Funktion in .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein quadratischer Zahlkörper, d.h. für eine quadratfreie Zahl .

Die einzigen negativen quadratfreien Zahlen , für die die Idealklassengruppe von trivial ist, sind

Das wurde von Carl Friedrich Gauss vermutet und 1952 von Kurt Heegner bewiesen; Heegners Beweis fand allerdings erst nach einer 1967 von Harold Stark veröffentlichten Arbeit Anerkennung.

Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele positive quadratfreie Zahlen gibt, für die die Idealklassengruppe von trivial ist, es gibt aber viele berechnete Beispiele hierfür.

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen algebraischen Zahlkörper gibt es eine Erweiterung , den (kleinen) hilbertschen Klassenkörper. Die Galoisgruppe ist kanonisch isomorph zur Idealklassengruppe, und jedes Ideal von wird in zu einem Hauptideal.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]