Ikosaeder

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Regelmäßiges Ikosaeder
120px-Icosahedron-slowturn.gif
Art der Seitenflächen gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen 20
Anzahl der Ecken 12
Anzahl der Kanten 30
Schläfli-Symbol {3,5}
dual zu Dodekaeder
Beispiel eines Körpernetzes Icosahedron flat.svg
Anzahl verschiedener Netze 43380
Anzahl Kanten in einer Ecke 5
Anzahl Ecken einer Fläche 3
Ikosaeder im STL-Format

Das (auch, v. a. österr.: der) Ikosaeder [ikozaˈʔeːdɐ] (von altgriechisch εἰκοσάεδρον eikosáedron „Zwanzigflach“, „Zwanzigflächner“)[1] ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflach, Vielflächner) mit

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ikosaeder mit Beispielen der Drehachsen und einer Symmetrieebene (rot)

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Ikosaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

  • 6 fünfzählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken)
  • 10 dreizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen)
  • 15 zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
  • 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenüberliegende und parallele Kanten)

und ist

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Ikosaeders – die Ikosaedergruppe oder Dodekaedergruppe – 120 Elemente. Die Untergruppe der Drehungen des Ikosaeders hat die Ordnung 60 und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe (, Alternierende Gruppe der Ordnung 5). Die Symmetrie des Ikosaeders ist wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich (siehe Parkettierung). Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (siehe Quasikristalle).

Kartesische Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Kartesischen Koordinaten definieren die Ecken eines Ikosaeders mit Kantenlänge a = 2, zentriert am Ursprung:

(0, ±1, ±)
(±1, ±, 0)
, 0, ±1)

mit (Goldene Zahl).

Beziehungen zu anderen Polyedern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fußball – ein Ikosaederstumpf mit Fünfecken und Sechsecken

Das Dodekaeder ist das zum Ikosaeder duale Polyeder und umgekehrt.

Mit Hilfe von Ikosaeder und Dodekaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Ikosaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

Die Struktur des Ikosaeders[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rechtecke in einem Ikosaeder

Wie nebenstehende Abbildung zeigt, kann man unter den Kanten des Ikosaeders 3 Paare gegenüberliegender Kanten so auswählen, dass diese Paare 3 kongruente zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. Die Längen der Seiten dieser Rechtecke entsprechen dem Goldenen Schnitt, weil sie Seiten bzw. Diagonalen regelmäßiger Fünfecke sind. Das Ikosaeder kann daher so in einen Würfel eingeschrieben werden, dass diese 6 Kanten in den 6 Flächen des Würfels liegen und parallel zu den Kanten des Würfels sind.

Die 24 restlichen Kanten begrenzen 8 Dreiecke, die in den Flächen eines – dem Ikosaeder umschriebenen – Oktaeders liegen, wobei die Ecken des Ikosaeders auf dessen Kanten liegen.

Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Ikosaeders zu genau einer solchen Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren gehört, während jede Fläche zweimal in der Fläche eines umschriebenen Oktaeders liegt. Die Symmetriegruppe des Ikosaeders bewirkt alle 5!/2 = 60 geraden Permutationen dieser fünf Positionen.

Die Kanten des Ikosaeders enthalten zwölf ebene Fünfecke, wobei jede Kante zu zwei und jede Ecke zu fünf dieser Fünfecke gehört. Man kann diese Eigenschaft zum Bau eines Drahtmodells benutzen.

Man kann sich das Ikosaeder auch als Kombination aus einem uniformierten fünfeckigen Antiprisma und aus beidseits je einer aufgesetzten fünfseitigen Pyramide vorstellen.

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen eines Ikosaeders mit Kantenlänge a
Volumen  

01 Ikosaeder-Größen.png

 ohne Raumwinkel in den Ecken
Oberflächeninhalt  
Umkugelradius  [3]
Kantenkugelradius  [4]
Inkugelradius  [5]
Verhältnis von Volumen
zu Umkugelvolumen
 
Innenwinkel des
gleichseitigen Dreiecks
Winkel zwischen
benachbarten Flächen
 
Winkel zwischen
Kante und Fläche
 
3D-Kantenwinkel  
Raumwinkel in den Ecken  

Berechnung des regelmäßigen Ikosaeders[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Ikosaeder besteht quasi aus zwanzig zusammengesetzten dreiseitigen Pyramiden.

Für eine Pyramide und somit für ein Zwanzigstel des Ikosaeders gilt

darin ist die Grundfläche (gleichseitiges Dreieck)

und die Höhe der Pyramide gleich dem Inkugelradius

daraus folgt mit eingesetzten Variablen für das Volumen des Ikosaeders

Oberflächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Oberflächeninhalt des Ikosaeders (zwanzig gleichseitige Dreiecke) gilt

Winkel zwischen benachbarten Flächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieser Winkel, bezeichnet mit (siehe Bild in Formeln), hat seinen Scheitel an einer Kante des Ikosaeders. Er ist mithilfe des folgenden rechtwinkligen Dreiecks bestimmbar.

Die Seitenlängen dieses Dreiecks sind: Kantenkugelradius als Hypotenuse, Inkugelradius als große Kathete und ein Drittel der Seitenhöhe als kleine Kathete. Dieser Wert ist durch die Position des Flächenschwerpunktes der Dreiecksfläche bestimmt, da der geometrische Schwerpunkt die Höhe des Dreiecks im Verhältnis 2:1 teilt.

Für den Winkel gilt

Winkel zwischen Kante und Fläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieser Winkel, bezeichnet mit , hat seinen Scheitel an einer Ecke des Ikosaeders.

Ist, wie in der Darstellung (siehe Bild in Formeln), der Winkel z. B. an der Ecke gesucht, dann ist er mithilfe der rechtwinkligen Dreiecke und bestimmbar. Deren gemeinsame Hypotenuse , gleich Umkugelradius , teilt den Winkel in die nicht eingezeichneten Winkel bzw. somit gilt

Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks mit Winkel sind: , gleich Inkugelradius , als große Kathete und , gleich zwei Drittel der Seitenhöhe des Ikosaederdreiecks, als kleine Kathete. Dieser Wert ist durch die Position des Flächenschwerpunktes der gleichseitigen Dreiecksfläche bestimmt, da der geometrische Schwerpunkt die Höhe des Dreiecks im Verhältnis 2:1 teilt.

Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks mit Winkel sind: , gleich Kantenkugelradius , als große Kathete und , gleich halbe Seitenlänge , als kleine Kathete.

Für Winkel des Dreiecks gilt

für Winkel des Dreiecks gilt

das Additionstheorem für Arkusfunktion liefert den Winkel

nach dem Einsetzen der betreffenden Werte () gilt

3D-Kantenwinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieser Winkel, bezeichnet mit (siehe Bild in Formeln), hat seinen Scheitel an einer Ecke des Ikosaeders und entspricht dem Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks.

Somit gilt für den 3D-Kantenwinkel des Ikosaeders

algebraisch gilt

[6]

Raumwinkel in den Ecken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einen Lösungsweg für den Raumwinkel zeigt die folgende Formel, beschrieben in Platonischer Körper

[7]

Mit der Anzahl der Kanten/Flächen an einer Ecke und dem Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks gilt

wegen wird damit

eingesetzt in und umgeformt

Vereinfachung[8]

Bedeutung der Ikosaedergruppe in der Mathematik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Punktgruppe des Ikosaeders, die Ikosaedergruppe, wird in der Mathematik vielfach angewendet. Das geht zurück auf die berühmte Monographie von Felix Klein aus dem Jahr 1884 Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade.[9] Die allgemeine Gleichung fünften Grades hat nach der Galoistheorie keine Lösung in Radikalen, da die alternierende Gruppe A5 nicht auflösbar ist.

Bedeutung des Ikosaeders in der Clusterphysik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Große Bedeutung hat die Ikosaeder-Form bei Clustern (Ansammlungen von Atomen in der Größenordnung von 3 bis 50.000 Atomen) ab einer Größe von mehr als 7 Atomen. Grund dafür ist die Regel von Friedel, die besagt, dass diejenige Struktur die geringste Energie besitzt, für die die Anzahl der Nächste-Nachbarn-Bindungen maximal ist. Bei vielen freien Clustern tritt dies ab 7 Atomen auf, wobei es allerdings auch Ausnahmen gibt und andere Strukturen bevorzugt werden (etwa Kuben).

Des Weiteren gibt es in der Clusterphysik sogenannte magische Zahlen, die eng mit dem sogenannten Mackayschen Ikosaeder zusammenhängen. Hier sorgen Schalenabschlüsse (also perfekte Atom-Ikosaeder) für besonders stabile Cluster. Dies tritt bei Clustern mit den magischen Atomzahlen 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923 und 1415 auf. Diese recht alten Erkenntnisse von Alan Mackay[10] spielen in der aktuellen Clusterphysik eine bedeutende Rolle.

Die Clusterzahlen lassen sich nach folgender Formel berechnen:

C = Gesamtzahl der Atome im Cluster
n = Anzahl der Atome pro Kante

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Kapside vieler Viren haben eine ikosaedrische Symmetrie. Das ist dadurch zu erklären, dass Viren ihre Nukleinsäure optimal verpacken. Die Ikosaederform ist in dieser Hinsicht günstig, weil das Ikosaeder von allen regelmäßigen Polyedern mit gegebenem Durchmesser das größte Volumen besitzt. Beispiele sind Rhinovirus (Schnupfen), Hepatitis-B-Virus, Adenovirus und Poliovirus.
  • Das closo-dodeka-Boranat-Anion B12H122− besitzt die Struktur des besonders stabilen B12-Ikosaeders.
  • Rudolf von Laban hatte das Ikosaeder für seine Raumharmonielehre intensiv genutzt und beeinflusste damit den modernen Tanz. Dies wird heute in den Laban-Bewegungsstudien weiter geführt.
  • Stafford Beer hatte in seiner kybernetischen Managementtheorie die Ikosaeder-Struktur als Modell für eine optimale Vernetzung von Mitarbeitern in Teams herausgearbeitet.
  • In vielen Pen-&-Paper-Rollenspielen werden Ikosaeder als zwanzigseitige Spielwürfel (W20) verwendet.
  • Klettergerüste für Kinder sind in der Ikosaederform besonders stabil.
  • Ein in die Erdkugel platziertes Ikosaeder bildet den Kern der Gitterstruktur beim Wettervorhersagemodell ICON des Deutschen Wetterdienstes (ähnlich wie eine geodätische Kuppel bzw. dem Dymaxion-Weltkarten-Entwurf nach Richard Buckminster Fuller).
  • Der Dogic ist eine Variante des Zauberwürfels in Form eines Ikosaeders als dreidimensionales, mechanisches Puzzle.
  • Im Inneren eines Magic 8 Ball befindet sich ein Ikosaeder, auf dem die möglichen Antworten stehen. Es schwimmt in einer dunkelblauen Flüssigkeit im Inneren der Kugel.
  • Beim Militär als Sonarreflektor in der Minenjagd, um ein Grundgewicht in der Nähe einer Grundmine zu positionieren. Hierbei sind die 20 gleichseitigen Dreiecke noch einmal in jeweils 3 nach innen gehende Tetraeder geöffnet, um möglichst viele Reflexionswinkel zu erzeugen.
Kapsid des Adenovirus
closo-dodeka-Boranat-Anion B12H122− Ikosaeder
Ein Ikosaeder als Spielwürfel
Klettergerüst in Ikosaederform

Netze des Ikosaeders[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Ikosaeder hat 43380 Netze.[11] Das heißt, es gibt 43380 Möglichkeiten, ein hohles Ikosaeder durch Aufschneiden von 11 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 19 Kanten verbinden jeweils die 20 gleichseitigen Dreiecke des Netzes. Um ein Ikosaeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 3 Farben.

Animation eines Ikosaedernetzes

Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Färbungen veranschaulicht
Ikosaeder einbeschrieben vom dualen Dodekaeder

Das Ikosaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 12 Knoten, 30 Kanten und 20 Gebieten, der 5-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 5 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 5 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Ikosaedergraphen entsprechen den Ecken des Ikosaeders.

Die Knoten des Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 4 ist (siehe Knotenfärbung). Außerdem können die Kanten mit 5 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 4 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 5 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Knotenfärbung des Ikosaedergraphen
Kantenfärbung des Ikosaedergraphen
Flächenfärbung des Ikosaedergraphen mit dualer Knotenfärbung des Dodekaedergraphen

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Dodekaedergraph) mit 20 Knoten, 30 Kanten und 12 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Ikosaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung oben). Die Knoten des Dodekaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 2 Farben, sodass die chromatische Zahl des Ikosaedergraphen gleich 3 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 3 ist, sind 3 Farben für eine solche Flächenfärbung des Ikosaeders oder eine Färbung der Gebiete des Ikosaedergraphen nötig.[12]

Die 11 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Ikosaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Ikosaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 20 Knoten und 19 Kanten und dem maximalen Knotengrad 5. Jede Fläche des Ikosaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Ikosaedergraph besitzt 2560 Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise.[13]

Ikosaedergraph mit einem der 2560 Hamiltonkreise

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Ikosaeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Ikosaeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org).
  2. Mathematische Basteleien – Fußball: Abgestumpftes Ikosaeder.
  3. Eric Weisstein: Regular Icosahedron. Umkugelradius, Formel (12). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 22. Juni 2020.
  4. Eric Weisstein: Regular Icosahedron. Kantenkugelradius, Formel (16). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 22. Juni 2020.
  5. Eric Weisstein: Regular Icosahedron. Inkugelradius, Formel (14). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 22. Juni 2020.
  6. Alternativer Ausdruck für . Wolfram Alpha, abgerufen am 22. Juni 2020.
  7. Harish Chandra Rajpoot: Solid angles subtended by the platonic solids (regular polyhedra) at their vertices. SlideShare, März 2015, abgerufen am 22. Juni 2020.
  8. Alternativer Ausdruck für . Wolfram Alpha, abgerufen am 22. Juni 2020.
  9. Felix Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Teubner, Leipzig 1884 (VIII, 260, online).
  10. A. L. Mackay: A dense non-crystallographic packing of equal spheres. In: Acta Crystallographia. Band 15, 1962, S. 916–918, doi:10.1107/S0365110X6200239X.
  11. Wolfram MathWorld: Regular Icosahedron
  12. Mike Zabrocki: HOMEWORK #3 SOLUTIONS - MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, S. 4, abgerufen am 31. Mai 2020.
  13. Wolfram MathWorld: Icosahedral Graph