Immersion (Mathematik)

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Eine nicht injektive Immersion: R → R2, t ↦ (t2 − 1, t · (t2 − 1))

In der Differentialgeometrie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung F\colon M\rightarrow N zwischen Mannigfaltigkeiten M und N, wenn der Pushforward F_{\ast p}\colon T_pM\to T_{F(p)}N dieser Abbildung an jedem Punkt p\in M injektiv ist. Ist darüber hinaus F eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu M diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von N.

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

Immersion im euklidischen Raum[Bearbeiten]

Liegt der Spezialfall F:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt F_\ast: T_p\mathbb{R}^m\rightarrow T_{F(p)}\mathbb{R}^n nichts anderes als die totale Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix DF(p)\colon\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.

Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung F:M\rightarrow N genau dann eine Immersion, wenn für alle p\in M der Rang der linearen Abbildung F_\ast gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit M ist, also gilt

\operatorname{rang} F_p = \dim(\operatorname{Bild}(T_p F)) = \dim M.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.