Immersion (Mathematik)

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Eine nicht injektive Immersion: R → R2, t ↦ (t2 − 1, t · (t2 − 1))

In der Differentialtopologie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten und , wenn der Pushforward dieser Abbildung an jedem Punkt injektiv ist. Ist darüber hinaus eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

Immersion im euklidischen Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Liegt der Spezialfall einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt nichts anderes als die totale Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.

Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung genau dann eine Immersion, wenn für alle der Rang der linearen Abbildung gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit ist, also gilt

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.