Impulserhaltungssatz

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Der Impulserhaltungssatz hilft, das Verhalten eines Kugelstoßpendels zu verstehen.

Der Impulserhaltungssatz (manchmal auch kurz Impulssatz genannt) ist einer der wichtigsten Erhaltungssätze der Physik und besagt, dass der Gesamtimpuls in einem mechanisch abgeschlossenen System konstant ist. „Mechanisch abgeschlossenes System“ bedeutet, dass das System keine Kräfte aus seiner Umgebung erfährt.

Die Impulserhaltung gilt sowohl in der klassischen Mechanik als auch in der speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik. Sie gilt unabhängig von der Erhaltung der Energie und ist etwa bei der Beschreibung von Stoßprozessen von grundlegender Bedeutung, wo der Satz besagt, dass der Gesamtimpuls aller Stoßpartner vor und nach dem Stoß gleich sein muss. Die Impulserhaltung gilt sowohl, wenn die kinetische Energie beim Stoß erhalten bleibt (elastischer Stoß), als auch dann, wenn dies nicht der Fall ist (unelastischer Stoß).

Der Impulserhaltungssatz ist eine unmittelbare Folge der Homogenität des Raumes, also der Tatsache, dass das Verhalten eines Objekts nur von den physikalischen Größen an seinem Ort bestimmt wird, aber nicht vom Ort selbst.[1]

Impulserhaltung in der Newton’schen Mechanik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Impulserhaltungssatz folgt direkt aus dem zweiten und dritten Newton’schen Axiom. Gemäß dem zweiten Newton’schen Axiom ist die Änderung des Impulses mit der Zeit gleich der auf einen Körper wirkenden äußeren Kraft , also

.

Wenn keine Kräfte von außen wirken, muss es gemäß dem dritten Newton’schen Axiom („actio = reactio“) für jede Kraft eine gleich große, aber entgegengesetzt wirkende Kraft (die sogenannte Gegenkraft) geben; die Vektorsumme dieser zwei Kräfte ist daher Null. Da dies für alle Kräfte gilt, ist auch die Vektorsumme aller im System auftretender Kräfte und damit auch die Änderung des Gesamtimpulses gleich Null. Somit gilt

,

weshalb der Gesamtimpuls ein konstanter Vektor ist. Wenn der Impuls nur von der Geschwindigkeit abhängt, bedeutet dies, dass sich der Massenschwerpunkt mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

Die Impulserhaltung ist auch mit der Aussage äquivalent, dass sich der Schwerpunkt eines Systems ohne äußere Kraft mit konstanter Geschwindigkeit und Richtung bewegt (das ist eine Verallgemeinerung des ersten Newton’schen Axioms, das ursprünglich nur für einzelne Körper formuliert wurde).

Impulserhaltung im Lagrange-Formalismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Lagrange-Formalismus folgt die Impulserhaltung für ein freies Teilchen direkt aus den Bewegungsgleichungen. Die Lagrangefunktion für ein Teilchen in einem Potential ist allgemein

mit einer generalisierten Koordinate und der Masse des Teilchens . Die Bewegungsgleichungen lauten

.

Hängt nicht von ab (d. h., durch das Potential wirkt keine Kraft auf das Teilchen, man spricht von einem freien Teilchen), so folgt

.

Dies entspricht gerade der Impulserhaltung der Newtonschen Mechanik, wenn man für eine Ortskoordinate wählt.

Im Lagrange-Formalismus ist eine entsprechende Ableitung auch für die Erhaltung des Drehimpulses möglich.

Impulserhaltung als Folgerung der Homogenität des Raumes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Noether-Theorem existiert zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eine Erhaltungsgröße. Die Symmetrie, die zur Impulserhaltung korrespondiert, ist die Homogenität des Raumes.

Homogenität des Raumes bedeutet, dass das betrachtete System verschiebungsinvariant ist, d. h., ein Prozess am Punkt A wird nicht anders ablaufen, wenn er stattdessen an irgendeinem anderen Punkt B stattfindet. Es besteht kein physikalischer Unterschied zwischen den Punkten A und B in dem Sinne, dass der Raum bei B andere Eigenschaften besäße als bei A.

Das Noether-Theorem sagt aus, dass die Größe

eine Erhaltungsgröße ist, wenn die Wirkung unter einer Transformation und invariant bleibt. Aus der Homogenität des Raumes folgt, dass eine Transformation mit und mit dem Kronecker-Delta die Wirkung invariant lässt, da zu den Koordinaten Beliebiges hinzuaddiert werden kann, ohne die Lagrangefunktion zu ändern.

Es folgt der Impulserhaltungssatz:[2]

Impulserhaltung im Kristallgitter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Spezialfall ist ein ideales Kristallgitter, in dem die Translation (Verschiebung) um einen Gittervektor eine Symmetrieoperation ist, also wieder zu einer vom ursprünglichen Gitter nicht unterscheidbaren Anordnung führt; andere Verschiebungen ergeben ein Gitter, dessen Gitterpunkte nicht mehr mit den ursprünglichen Gitterpunkten zusammenfallen. In diesem Fall gilt die Impulserhaltung mit der Einschränkung, dass zum Impuls ein mit dem planckschen Wirkungsquantum multiplizierter Gittervektor des reziproken Gitters addiert werden kann:

Es kann also Impuls nicht in beliebigem Ausmaß an das Kristallgitter transferiert werden, sondern nur in diskreten Schritten, die durch das reziproke Gitter bestimmt werden. Wenn der Impuls für den kleinsten solchen Schritt zu klein ist, z. B. bei sichtbarem Licht im Inneren eines Kristalls, gilt wieder die Impulserhaltung wie im freien Raum. Daher wird sichtbares Licht in Kristallen nicht gebeugt, hingegen kann Röntgenstrahlung, die einen höheren Impuls hat, gebeugt werden. Die Impulserhaltung unter Berücksichtigung des reziproken Gittervektors ist in diesem Fall äquivalent zur Bragg-Gleichung.

Impulserhaltung in strömenden Fluiden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einen Strömungsraum sind die ein- und austretenden Impulsströme mit den äußeren, auf diesen Strömungsraum einwirkenden Kräften stets im Gleichgewicht (ausgeglichene Kräftebilanz). Daher gilt für jede Koordinatenrichtung:

Die Kräfte beinhalten dabei Impulskräfte, Druckkräfte, Wandkräfte, Massenkräfte und Reibungskräfte. Die weiteren Größen in der Gleichung sind: Dichte des Fluids , durchströmte Querschnittsfläche , Strömungsgeschwindigkeit des Fluids .

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. L. D. Landau, E. M. Lifshitz: Course of theoretical physics. 3rd ed. 1. Mechanics. Butterworth-Heinemann, 1976, ISBN 978-0-7506-2896-9 (englisch, russisch: Курс теоретической физики Ландау и Лифшица, Механика. Übersetzt von J. B. Sykes, J. S. Bell).
  2. Thorsten Fließbach: Mechanik. 4. Auflage. Spektrum, Heidelberg/Berlin 2003, ISBN 3-8274-1433-4.