Index (Gruppentheorie)

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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Maß für die relative Größe zur gesamten Gruppe.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Dann sind die Menge der Linksnebenklassen und die Menge der Rechtsnebenklassen gleichmächtig. Ihre Mächtigkeit ist der Index von in und wird mit , manchmal auch oder , bezeichnet.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es gilt . (Dabei bezeichnet die Ordnung von .)
  • Der Index ist multiplikativ, d. h. ist eine Untergruppe von und eine Untergruppe von , so gilt
  • Der Spezialfall wird oft als Satz von Lagrange (nach J.-L. Lagrange) bezeichnet:
    Für eine Gruppe und eine Untergruppe gilt:
    Im Fall von endlichen Gruppen kann man den Index einer Untergruppe also als
    berechnen.
  • Ist ein Normalteiler, so ist der Index von in gerade die Ordnung der Faktorgruppe , also
    .
  • Eine Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler, da von den zwei (Links)nebenklassen die eine die Untergruppe selbst und die andere deren Komplement ist.
  • Allgemeiner: Ist eine Untergruppe von und ihr Index, der zugleich der kleinste Teiler der Ordnung ist, dann ist ein Normalteiler in .

Topologische Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Kontext von topologischen Gruppen spielen Untergruppen von endlichem Index eine Sonderrolle:

  • Eine Untergruppe von endlichem Index ist genau dann offen, wenn sie abgeschlossen ist. (Offene Untergruppen sind stets abgeschlossen.)
  • Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe hat endlichen Index.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Index des Zentralisators eines Gruppenelements entspricht der Mächtigkeit seiner Konjugationsklasse.[1]
  • In der Galoistheorie ist durch die Galoiskorrespondenz ein Zusammenhang zwischen den relativen Indizes von Untergruppen der Galoisgruppe und den relativen Graden von Körpererweiterungen gegeben.[2]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Index in der Gruppentheorie:

  • Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, New York 1989, ISBN 0-387-90518-9, S. 38 ff.

In topologischen Gruppen:

  • Lew Pontrjagin: Topologische Gruppen. Teubner, Leipzig 1957 (russisch: Nepreryvnye gruppy. Übersetzt von Viktor Ziegler).

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hungerford (1989), S. 89
  2. Hungerford (1989), S. 247