Integration durch Substitution

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Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu berechnen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.

Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel. Ihr Äquivalent für Integrale über mehrdimensionale Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.

Aussage der Substitutionsregel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein reelles Intervall, eine stetige Funktion und stetig differenzierbar. Dann ist

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Stammfunktion von . Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion

Durch zweimalige Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man damit die Substitutionsregel:

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Anwendung der Substitutionsregel von links nach rechts soll im ursprünglichen Term des Integranden ein Teilterm, nämlich der frei zu bestimmende Term von , zur Integrationsvariablen vereinfacht werden. Dazu multipliziert man den Term des Integranden mit dem Term von und ersetzt anschließend die Integrationsvariable überall mit dem Term von . Die Integrationsgrenzen und ersetzt man schließlich durch bzw. .

Man bildet also

Ob man dabei zu einer neuen Integrationsvariablen übergeht (z. B. von zu ) oder die ursprüngliche beibehält, ist formal gleichgültig. Ebenso ist es nicht zwingend erforderlich, die Umformungen und Ersetzungen unter Einbeziehung der Differentiale (z. B. und ) vorzunehmen.

Hat man die Stammfunktion gefunden, kann man sie direkt mit den Grenzen und auswerten oder die Stammfunktion zum ursprünglichen Integranden als bilden.

Wendet man die Substitutionsregel dagegen von rechts nach links an, so soll die Integrationsvariable durch den Term von ersetzt werden. Man ersetzt also die Integrationsvariable entsprechend überall und multipliziert anschließend mit dem Term von . Zuletzt wendet man auf die Integrationsgrenzen an.

Substitution eines bestimmten Integrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Berechnung des Integrals

für eine beliebige reelle Zahl : Durch die Substitution erhält man und:

.

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Berechnung des Integrals

:

Durch die Substitution erhält man bzw. und damit

Es wird also durch ersetzt und durch . Die untere Grenze des Integrals wird dabei in umgewandelt und die obere Grenze in .

Beispiel 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Berechnung des Integrals

Man substituiert . Daraus ergibt sich . Mit erhält man

Das Ergebnis kann mit Partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

und einer weiteren Substitution berechnet werden.

Substitution eines unbestimmten Integrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Voraussetzungen und Vorgehen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter den obigen Voraussetzungen gilt

Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten Funktion bestimmt hat, macht man die Substitution rückgängig und erhält eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Substitution erhält man

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Substitution erhält man

Man beachte, dass die Substitution nur für bzw. nur für streng monoton ist.

Spezialfälle der Substitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Substitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden:

Für das bestimmte Integral gilt entsprechend:

Logarithmische Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Integrale mit der speziellen Form Zähler des Integranden ist Ableitung des Nenners können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden, was einen Spezialfall der Substitutionsmethode darstellt:

Eulersche Substitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs und elementar integrieren.

Beispiel:

Durch die Substitution   also    ,   ,     und   ergibt sich:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464
  • Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]