Invariantes Polynom

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In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe auf dem Vektorraum invariant ist, also

für alle erfüllt.

Invariante Polynome in der Linearen Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Körper und der Vektorraum aller -Matrizen über . Die allgemeine lineare Gruppe wirkt auf durch Konjugation:

für .

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen mit für alle .

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable ) die Entwicklung

betrachten und erhält invariante Polynome . ( ist die Spur und die Determinante. Falls algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von .)

Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Lie-Gruppe und ihre ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von , siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe wirkt auf sich selbst durch Konjugation: für alle . Das Differential von ist eine lineare Abbildung

,

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe auf dem Vektorraum .

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf , welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

für alle

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit bezeichnet.

Beispiel GL(n,ℝ)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Fall ist und für . Für sei das homogene Polynom vom Grad , dessen Wert auf man als Koeffizienten vom Grad im Polynom

erhält, für alle . (Die Werte für die legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom heißt das -te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den erzeugt.

Beispiel G=O(n)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für gilt , woraus zunächst und damit dann für alle ungeraden folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den erzeugt.

Beispiel G=SO(n)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für mit definiert ist durch

.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen und - falls gerade ist - der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante erzeugt.

Beispiel G=GL(n,ℂ)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für sei das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad , dessen Wert auf man als Koeffizienten vom Grad im Polynom

erhält, für alle . Das Polynom heißt das -te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den erzeugt.

Beispiel G=U(n)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ist und damit deshalb sind die Chern-Polynome auf reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den erzeugt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu: Foundations of differential geometry. Vol. I, II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969.
  • Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. ISBN 3-540-08663-3