Isomorphiesatz

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Isomorphiesätze sind zwei mathematische Sätze, die Aussagen über Gruppen machen. Sie lassen sich auch auf komplexere algebraische Strukturen übertragen und sind somit ein wichtiges Resultat der universellen Algebra. Die Isomorphiesätze sind eine direkte Folgerung aus dem Homomorphiesatz der entsprechenden algebraischen Struktur.

Manchmal wird der Homomorphiesatz als erster Isomorphiesatz bezeichnet. Die unten angegebenen Sätze heißen dann dementsprechend zweiter bzw. dritter Isomorphiesatz.

Gruppentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erster Isomorphiesatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien eine Gruppe, ein Normalteiler in und eine Untergruppe von . Dann ist auch das Komplexprodukt eine Untergruppe von , ist ein Normalteiler in und die Gruppe ist ein Normalteiler in . Es gilt:

Dabei bezeichnet die Isomorphie von Gruppen.

Der Isomorphismus, der dabei üblicherweise gemeint ist, wird als kanonischer Isomorphismus bezeichnet. Er wird gemäß dem Homomorphiesatz von der surjektiven Abbildung

induziert, denn es gilt offenbar

.

Aus dem ersten Isomorphiesatz erhält man als Spezialfall die anschauliche Aussage, dass man genau dann mit "erweitern" darf, wenn .

Zweiter Isomorphiesatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien eine Gruppe, ein Normalteiler in und eine Untergruppe von , die Normalteiler in ist. Dann gilt:

In diesem Fall kann man kanonische Isomorphismen in beide Richtungen angeben, einerseits induziert durch

andererseits durch

Anschaulich ausgedrückt besagt der zweite Isomorphiesatz, dass man "kürzen" darf.

Vektorräume, abelsche Gruppen oder Objekte einer beliebigen abelschen Kategorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien

Dann gilt:

Auch hier steht das Symbol für die Isomorphie der entsprechenden algebraischen Strukturen bzw. Objekte in der jeweiligen Kategorie.

Die kanonischen Isomorphismen sind eindeutig dadurch bestimmt, dass sie mit den beiden kanonischen Pfeilen von bzw. kompatibel sind.

Eine weitreichende Verallgemeinerung der Isomorphiesätze liefert das Schlangenlemma.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

matheplanet.com: Gruppenzwang IV - Ausführliche Erklärungen und Beweise der Isomorphiesätze