Iwasawa-Zerlegung

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Die Iwasawa-Zerlegung halbeinfacher Lie-Gruppen verallgemeinert die Tatsache, dass sich jede quadratische Matrix auf eindeutige Weise als Produkt aus einer orthogonalen Matrix und einer oberen Dreiecksmatrix darstellen lässt. Sie ist nach Kenkichi Iwasawa (1949) benannt, der sie für reelle halbeinfache Liegruppen einführte.

Spezialfall: Matrizen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Spezialfall ist die eindeutige Darstellung jedes Elementes der speziellen linearen Gruppe als Produkt von drei Elementen.

Sei die spezielle orthogonale Gruppe , die Menge der Diagonalmatrizen mit positiven Diagonaleinträgen, deren Produkt beträgt, und die Menge der Dreiecksmatrizen, auf deren Diagonalen überall Einsen stehen. Dann existieren für jedes     eindeutig bestimmte     derart, dass . (Vergleiche QR-Zerlegung.)

Allgemeiner Fall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine halbeinfache Lie-Gruppe. Dann gibt es eine Zerlegung

mit einer kompakten Untergruppe , einer abelschen Untergruppe und einer nilpotenten Untergruppe , so dass sich jedes Element auf eindeutige Weise als Produkt

mit zerlegen lässt.

Die Zerlegung ist nicht eindeutig bestimmt. Jede Zerlegung mit den obigen Eigenschaften heißt Iwasawa-Zerlegung.

Die Methode ist benannt nach ihrem Entwickler Iwasawa Kenkichi.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]