j-Funktion

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j-Funktion in der komplexen Ebene (ohne Faktor 12^3)

Die j-Funktion oder absolute Invariante spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen. Sie ist die grundlegende Modulfunktion, die anderen Modulfunktionen ergeben sich aus ihr als rationale Funktion.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ist

,

dabei ist die Diskriminante; und sind die Eisensteinreihen zum Gitter .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fundamentalbereich (blau) der j-Funktion

Die j-Funktion ist holomorph auf (sie hat nur einen einfachen Pol in der Spitze, also für )[1], die Bezeichnung absolute Invariante erklärt sich aus dem Transformationsverhalten unter den Substitutionen der Modulgruppe , es gilt nämlich:

, d. h. ist eine Modulfunktion.

Die j-Funktion bildet surjektiv auf ab. Für Punkte gilt dann und nur dann wenn es eine komplexe Zahl gibt, die das Gitter auf das Gitter überführt, also genau dann wenn die Quotienten und als elliptische Kurven isomorph sind. Sie parametrisiert also eindeutig die Elliptischen Funktionen. Sie liefert eine Bijektion . Ihr Fundamentalbereich ist durch die Modulfigur gegeben (siehe Abbildung).

Ist ein Element aus einem quadratischen Zahlkörper mit positiven Imaginärteil, so ist eine ganzalgebraische Zahl.

Jede Modulfunktion ist eine rationale Funktion der j-Funktion.

Fourierentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die j-Funktion lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:

mit

Alle Fourierkoeffizienten :

(Folge A000521 in OEIS)

sind natürliche Zahlen. Für ihr Wachstum gilt die asymptotische Formel

,

die 1932 von Petersson und unabhängig davon 1938 von Rademacher bewiesen wurde.

Die Fourierkoeffizienten sind Linearkombinationen der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der Monstergruppe mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten. Dies folgt aus einer tiefen mathematischen Beziehung, die von McKay, Conway, Norton vermutet und von Richard Borcherds bewiesen wurde („monstrous moonshine“).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Das folgt daraus, dass im Zähler Eisensteinreihen stehen, die in diesem Grenzfall holomorph sind, und im Nenner die Diskriminante, die eine Spitzenform ist und eine einfache Nullstelle in dem betrachteten Grenzfall hat