Jacobi-Identität

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In der Mathematik erfüllt eine bilineare Abbildung auf dem Vektorraum die Jacobi-Identität (nach Carl Jacobi) falls gilt:

Ist die bilineare Abbildung antisymmetrisch, so handelt es sich um eine Lie-Klammer. Wichtige Beispiele sind der Kommutator linearer Abbildungen, das Vektorprodukt und die Poisson-Klammer.

Andere Schreibweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei im Folgenden

eine alternierende bilineare Abbildung. Die Jacobi-Identität ist dann äquivalent dazu, dass diese Abbildung die Struktur einer Liealgebra auf definiert.

Dann kann die Jacobi-Identität auf folgende Arten umgeschrieben werden:

Anders gesagt: die Abbildung
ist eine Derivation bezüglich des Produktes .
Anders gesagt: Mit der Notation
gilt
dabei ist die Klammer auf der rechten Seite der Kommutator in der Endomorphismenalgebra von . Anders gesagt: Die Abbildung
ist eine Darstellung der Liealgebra auf sich selbst. Sie heißt die adjungierte Darstellung.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jacobi-Identität. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8.