Jacobi-Symbol

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Das Jacobi-Symbol, benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi, ist eine Verallgemeinerung des Legendre-Symbols. Das Jacobi-Symbol kann wiederum zum Kronecker-Symbol verallgemeinert werden. Die Notation ist die gleiche wie die des Legendre-Symbols:

oder auch

Um zwischen dem Legendre-Symbol und dem Jacobi-Symbol zu unterscheiden, schreibt man auch und .

Dabei muss im Gegensatz zum Legendre-Symbol keine Primzahl sein, allerdings muss es eine ungerade Zahl größer als 1 sein. Für sind beim Jacobi-Symbol wie beim Legendre-Symbol alle ganzen Zahlen zugelassen.

n ist eine Primzahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls eine Primzahl ist, ist das Jacobi-Symbol nach Definition gleich dem Legendre-Symbol:

n ist keine Primzahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist die Primfaktorzerlegung von , so definiert man

Beispiel:

Achtung: Falls keine Primzahl ist, gibt das Jacobi-Symbol nicht an, ob ein quadratischer Rest modulo ist (wie beim Legendre-Symbol). Eine notwendige Bedingung dafür, dass ein quadratischer Rest modulo ist, ist allerdings, dass das Jacobi-Symbol ungleich ist.

Allgemeine Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein ist das Jacobi-Symbol über einen Charakter der Gruppe definiert:

Dabei ist die folgende Funktion:

ist dabei ein beliebiges Halbsystem modulo , da der Wert von nicht von der Wahl des Halbsystems abhängt. bezeichnet den Korrekturfaktor von und bezüglich :

Eine alternative Definitionsmöglichkeit liefert das Lemma von Zolotareff, nach dem das Jacobi-Symbol gleich dem Vorzeichen einer speziellen Permutation ist.

Geschlossene Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende Formel ist eine geschlossene Darstellung des Werts des Jacobi-Symbols:

Zur effektiven Berechnung ist diese Formel jedoch wenig geeignet, da sie für größere schnell sehr viele Faktoren aufweist.

Effiziente Berechnung des Jacobi-Symbols[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den meisten Fällen, in denen man die Berechnung des Jacobi-Symbols benötigt, so beim Solovay-Strassen-Test, hat man keine Primfaktorzerlegung der Zahl in , sodass sich das Jacobi-Symbol nicht auf das Legendre-Symbol zurückführen lässt. Zudem ist die oben angegebene geschlossene Darstellung für größere nicht effizient genug.

Es gibt jedoch ein paar Rechenregeln, mit denen sich effizient bestimmen lässt. Diese Regeln ergeben sich unter anderem aus dem quadratischen Reziprozitätsgesetz, das auch für das Jacobi-Symbol seine Gültigkeit besitzt.

Das wichtigste Prinzip ist das folgende: Für alle ungeraden ganzen Zahlen größer 1 gilt:

Diese Regel ist das quadratische Reziprozitätsgesetz für das Jacobi-Symbol. Mit ihrer Hilfe, sowie wenigen weiteren Rechenregeln, lässt sich für alle mit verhältnismäßig geringem Aufwand bestimmen, der vergleichbar mit dem des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers ist. Die Rechenregeln, die zusätzlich benötigt werden, sind die folgenden:

Die oben stehende Regel folgt aus der Definition des Jacobi-Symbol über den Charakter. Der Zähler des Jacobi-Symbols ist nur ein Repräsentant der Gruppe ; daher spielt es keine Rolle, welchen Repräsentanten man wählt.

  • (Multiplikativität im Zähler)
  • (Multiplikativität im Nenner)

Als Beispiel soll bestimmt werden:

Da man den Repräsentanten im Zähler frei wählen darf, ist dies gleich

Da 2 zu 127 teilerfremd ist, ist J(2, 127) sicher nicht 0 und damit J(2, 127)2 = 1. Also fällt dieser Faktor weg und man erhält:

Für die 2 im Zähler gibt es eine geschlossene Formel, daher erhält man schließlich:

Algorithmus - Berechnung des Jacobi-Symbols [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1 Eingabe
2 while do
3 Berechne
4 if then
5
6 if then
7
8 dividiere mit Rest durch wobei
9
10 else
11
12 übergabe

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]