Jonckheere-Terpstra-Test

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Der Jonckheere-Terpstra-Test ist ein parameterfreier statistischer Test, mit dem ähnlich wie beim Kruskal-Wallis-Test im Rahmen einer Varianzanalyse verglichen wird, ob sich verschiedene unabhängige Stichproben (Gruppen) hinsichtlich einer ordinalskalierten Variable unterscheiden. Der Unterschied zum Kruskal-Wallis-Test ist, dass hier auf das Vorliegen eines Trends zwischen den Gruppen getestet wird.

Die Nullhypothese H0 lautet, das alle Stichprobenwerte aus Grundgesamtheiten mit identischer Verteilung gezogen wurden:

Als Alternativhypothese HA gilt: , wobei mindestens eine strikte Ungleichung gilt.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Teststatistik J lautet für eine Anzahl von Gruppen mit jeweils Messungen:

Dabei ist definiert als

mit

oder im Falle von Bindungen (gleichen Messwerten)

Die berechnete Prüfgröße wird größer, wenn ein Trend zwischen den Gruppen vorhanden ist.

Unter allgemeinen Bedingungen weist die Prüfgröße J eine Normalverteilung auf. Für den Erwartungswert und dessen Varianz gelten folgende Formeln:

und

Die daraus folgende Variable ist standardnormalverteilt, wenn die Gesamtzahl aller Stichprobenwerte (N) größer 12 ist:

Oder anders ausgedrückt: bei einem einseitigen Test auf 5% Niveau (Fehler 1. Art) ist der Test signifikant, wenn

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es lassen sich neben einem monotonen Trend auch Modelle bearbeiten, bei denen ein anfänglicher Aufwärtstrend an einem bestimmten Punkt in einen Abwärtstrend übergeht. Dieses ist dann die Verallgemeinerung des Jonckheere-Terpsta-Tests, der Umbrella-Test nach Mack und Wolfe.[1]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. H. B. Mack, Wolfe, D. A.: K-sample rank tests for umbrella alternatives. In: J. Amer. Statist. Ass.. 76, 1981, S. 175-81.
  • A. R. Jonckheere: A distribution-free k-sample test against ordered alternatives. In: Biometrica. 41, 1954, S. 133-45.
  • A. R. Jonckheere: A test of significance for the relation between m rankings and k ranked categories. In: British Journal of Statistical Psychology. 7, 1954, S. 93-100.
  • T. J. Terpstra: The asymptotic normality and consistency of Kendall's test against trend, when ties are present in one ranking. In: Indagationes Mathematicae. 14, 1952, S. 327-33.
  • W. J. Conover: Practical Nonparametric Statistics, 3, John Wiley & Sons, Inc., New York 1999, ISBN 0-471-16068-7, S. 5.4.