Jones-Polynom

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Das Jones-Polynom ist eine der wichtigsten Invarianten von Knoten und Verschlingungen, die in der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Topologie, untersucht wird. Es ist ein Laurent-Polynom in .

Es wurde 1984 von Vaughan F. R. Jones entdeckt, der unter anderem dafür 1990 die Fields-Medaille erhielt.

Definition durch Kauffman-Klammer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Verschlingung. Das Kauffman-Klammerpolynom ist ein zu einem Diagramm von assoziiertes Laurent-Polynom in . Das normierte Kauffman-Polynom wird dann definiert durch die Formel , wobei die Verwringung von L bezeichnet. ist invariant unter Reidemeister-Bewegungen und definiert deshalb eine Invariante von Verschlingungen. Das Jones-Polynom erhält man, indem man in substituiert.

Definition durch Zopfgruppendarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei L eine Verschlingung. Nach einem Satz von Alexander ist L der Abschluss eines Zopfes mit n Komponenten. Eine Darstellung der Zopfgruppe Bn in die Temperley–Lieb-Algebra TLn mit Koeffizienten in und wird definiert, indem man den Erzeuger auf abbildet, wobei die Erzeuger der Temperley–Lieb-Algebra sind.

Sei der zu L assoziierte Zopf. Berechne , wobei die Markov-Spur ist. Das gibt das Klammerpolynom , aus dem dann wie im vorhergehenden Abschnitt das Jones-Polynom berechnet werden kann.

Definition durch Skein-Relationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann das Jones-Polynom (eindeutig) dadurch charakterisieren, dass es dem trivialen Knoten den Wert 1 zuordnet und die folgende Skein-Relation erfüllt:

wobei , und orientierte Linkdiagramme sind, die sich innerhalb eines kleinen Gebietes wie im Bild unten unterscheiden und außerhalb dieses Gebietes identisch sind.

Skein-Relationen

Definition durch Chern-Simons-Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Jones-Polynom kann mittels Chern-Simons-Theorie definiert werden.

Unterscheidbarkeit von Knoten mittels Jones-Polynom[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist eine offene Frage, ob der Unknoten der einzige Knoten mit trivialem Jones-Polynom ist. Es gibt jedenfalls unterschiedliche Knoten mit demselben Jones-Polynom, zum Beispiel haben Mutationen eines Knotens dasselbe Jones-Polynom.

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für einen Knoten ist , für eine Verschlingung mit Komponenten ist .
  • Falls die erste Homologiegruppe des Komplements endliche Ordnung hat, ist .
  • Falls die Arf-Invariante definiert ist, ist .
  • .
  • Die Werte in Einheitswurzeln sind in der Chern-Simons-Theorie von Bedeutung.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Vaughan F. R. Jones: A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. In: Hyman Bass, Meyer Jerison, Calvin C. Moore (Hrsg.): Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). Vol. 12, Nr. 1. American Mathematical Society 1985, ISSN 0273-0979, S. 103–111, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15304-2 (PDF [abgerufen am 2. Dezember 2012]).
  • Louis H. Kauffman: State models and the Jones polynomial. In: Topology. Vol. 26, Nr. 3. Elsevier 1987, ISSN 0040-9383, S. 395–407, doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7 (PDF [abgerufen am 2. Dezember 2012]).
  • Pierre de la Harpe, Michel Kervaire, Claude Weber: On the Jones polynomial. Enseign. Math. (2) 32 (1986), no. 3-4, 271–335.
  • W. B. Raymond Lickorish: An introduction to knot theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 175). Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98254-X.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]