Jordan-Maß

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Das Jordan-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie. Dieser geht auf Marie Ennemond Camille Jordan zurück, welcher ihn im Jahr 1890 aufbauend auf Arbeiten von Giuseppe Peano entwickelte. Mit dem Jordan-Maß kann man beschränkten Teilmengen des einen Inhalt zuordnen und erhält einen Integralbegriff, der dem riemannschen Integralbegriff analog ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Menge (mit blauem Rand) wird einmal durch Teilmengen (wie die Menge mit grünem Rand) und einmal durch Obermengen (wie die Menge mit lila Rand) aus angenähert.

Es bezeichne für

das halboffene -dimensionale Hyperrechteck und

die Menge aller solcher Hyperrechtecke. Zur Definition können alternativ auch halboffene Intervalle der Form verwendet werden. Weiter sei

die Menge aller endlichen Vereinigungen von paarweise disjunkten Hyperrechtecken.

Es bezeichne weiter den Inhalt, der für alle mit für alle durch

und definiert ist.

Der innere Inhalt einer beschränkten Menge A sei

ihr äußerer Inhalt sei

Eine Menge heißt Jordan-messbar oder quadrierbar, wenn beschränkt ist und .

Das Jordan-Maß einer Jordan-messbaren Menge ist durch gegeben.

Gilt für ein beschränktes , so ist Jordan-messbar und wird Jordan-Nullmenge genannt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Das Jordan-Maß ist ein Inhalt und nicht -additiv, d. h. abzählbare Vereinigungen von Jordan-messbaren Mengen müssen nicht notwendig Jordan-messbar sein. (Siehe auch Beispiel 2.) Daher ist das Jordan-Maß kein Maß im Sinne der Maßtheorie.
  2. Ist Jordan-messbar, so ist auch Lebesgue-messbar, und es gilt . Dabei bezeichnet das Lebesgue-Maß von .
  3. Eine Menge ist genau dann Jordan-messbar, wenn beschränkt ist und der Rand von eine Jordan-Nullmenge ist.
  4. Eine beschränkte Menge ist genau dann Jordan-messbar, wenn ist. Dann gilt auch .
  5. Eine kompakte Menge ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn eine Jordan-Nullmenge ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Der Einheitskreis im ist Jordan-messbar, da er beschränkt und sein Rand eine Jordan-Nullmenge ist.
  2. Die Menge ist nicht Jordan-messbar. Denn für jede Menge gilt und für jede Menge gilt woraus folgt. Für jedes gilt . Aufgrund der -Additivität des Lebesgue-Maßes gilt . ist also Lebesgue-Nullmenge. Das Jordan-Maß ist, wie dieses Beispiel zeigt, nicht -additiv.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]