Jordansche Normalform

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Die jordansche Normalform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Benannt wurde sie nach Marie Ennemond Camille Jordan, der sie 1870 für endliche Körper und 1871 im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme für komplexe Matrizen herleitete, die aber auch schon 1868 Karl Weierstraß in seiner Behandlung bilinearer Formen im Komplexen bekannt war[1]. Die jordansche Normalform ist ein einfacher Vertreter der Äquivalenzklasse der zu einer trigonalisierbaren Matrix ähnlichen Matrizen. Die Trigonalisierbarkeit ist gleichbedeutend damit, dass das charakteristische Polynom der Matrix vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Matrizen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind immer trigonalisierbar und daher immer ähnlich einer jordanschen Normalform.

Für jede lineare Abbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums, deren charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, kann eine Vektorraumbasis gewählt werden, so dass die Abbildungsmatrix, die die Abbildung bezüglich dieser Basis beschreibt, jordansche Normalform hat.

Für jede beliebige, auch nicht trigonalisierbare Matrix liefert die rationale Normalform oder Frobenius-Normalform einen standardisierten Repräsentanten der Ähnlichkeitsklasse dieser Matrix.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die jordansche Normalform zu einer quadratischen -Matrix über den komplexen Zahlen ist eine Matrix in der folgenden Blockdiagonalform:

Die Matrix ist die Matrix der Eigenvektoren und Hauptvektoren, aus denen sie spaltenweise besteht. bezeichnet dabei die inverse Matrix von . Die Matrizen heißen Jordanblöcke und sie sind Bidiagonalmatrizen mit der folgenden Form:

Die sind dabei die Eigenwerte von . Zu jedem Eigenwert gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordanblöcke. Die geometrische Vielfachheit ist dabei die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert . Die Gesamtdimension aller Jordanblöcke eines Eigenwertes entspricht seiner algebraischen Vielfachheit, d. h. seiner Vielfachheit im charakteristischen Polynom.

In einem Jordanblock sind die sogenannten Jordanketten „gespeichert“ (siehe Hauptvektor). Besteht z. B. nur aus einem Jordanblock mit Eigenwert und bezeichne einen Hauptvektor -ter Stufe. Dabei ist ein Eigenvektor zum Eigenwert und es gilt und für . Es gilt dann und für , das heißt, die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis ist tatsächlich ein Jordanblock.

Es existiert noch die alternative Darstellung der Jordanblöcke mit 1 in der unteren Nebendiagonalen.

Im Spezialfall einer diagonalisierbaren Matrix ist die jordansche Normalform eine Diagonalmatrix.

Form der Transformationsmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien Hauptvektoren der jeweils -ten Stufe, wobei die Dimension des -ten Jordanblocks ist, .

Dann ist , definiert durch

eine Transformationsmatrix, die mittels die Jordan-Normalform von herstellt.

In Worten: Die Spalten von sind die Eigenvektoren mit den dazugehörigen Hauptvektoren in der Reihenfolge der dazugehörigen Jordanblöcke. Allerdings ist nicht eindeutig bestimmt.

Algorithmus zur Bestimmung einer komplexen jordanschen Normalform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die jordansche Normalform eines Endomorphismus eines -dimensionalen -Vektorraums wählt man eine Basis des Vektorraums und berechnet die jordansche Normalform der Abbildungsmatrix von bezüglich der Basis .

Im Folgenden wird daher gesetzt und die komplexe jordansche Normalform einer quadratischen Matrix bestimmt. Die Einheitsmatrix wird mit bezeichnet.

Bestimmung der Eigenwerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe des charakteristischen Polynoms

errechnet man aus seinen Nullstellen die paarweise verschiedenen Eigenwerte

Die Eigenwerte werden hier also nicht ihrer Vielfachheit entsprechend aufgeführt.

Bestimmung der Größe der Jordanblöcke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hierfür müssen zunächst die Dimensionen der verallgemeinerten Eigenräume bestimmt werden. Das heißt, man berechnet für alle die Zahlen

Insbesondere ist stets und ist gerade die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts . Die Dimension des Kerns kann mit Hilfe des Dimensionssatzes aus dem Rang berechnet werden, der beispielsweise mit dem gaußschen Algorithmus bestimmt werden kann.

Die Folge der ist monoton wachsend und wird ab einem bestimmten Wert für stationär, spätestens bei der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes im charakteristischen Polynom. Die Anzahl der Jordanblöcke der Größe zum Eigenwert lässt sich dann mit Hilfe der Formel

berechnen. Außerdem gibt die Gesamtzahl der zu diesem Eigenwert gehörigen Jordanblöcke an.

Komplexe jordansche Normalform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die erhaltenen Jordanblöcke schreibt man in eine Matrix und erhält die komplexe jordansche Normalform einer Matrix. Haben alle Blöcke die Größe 1, liegt der Spezialfall einer Diagonalmatrix vor, und ist somit diagonalisierbar.

Das Minimalpolynom von erhält man aus , worin die Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert bezeichnet.

Die jordansche Normalform ist bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke eindeutig bestimmt. Sofern alle Eigenwerte in liegen, sind zwei Matrizen, welche dieselbe jordansche Normalform haben, zueinander ähnlich.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte die Matrix , die wie folgt definiert ist

Ihr charakteristisches Polynom lautet . Somit besitzt diese Matrix genau einen Eigenwert, nämlich 3. Mit der Abkürzung werden nun die bestimmt:

Es gilt . Somit ist .

Weiterhin ist die Nullmatrix, also gilt und somit und die Folge wird ab dieser Stelle stationär.

Damit folgt:

Es gibt Jordanblöcke, und davon

Jordanblock mit Größe 1 und

Jordanblöcke mit Größe 2.

Somit ist die jordansche Normalform von . Das Minimalpolynom von ist .

Bestimmung einer Basistransformation zur komplexen jordanschen Normalform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nun soll eine Basistransformationsmatrix bestimmt werden, die

erfüllt. Sie ist durch diese Gleichung bekanntlich nicht eindeutig bestimmt. Das Standard-Verfahren verwendet die vorherige Kenntnis der komplexen jordanschen Normalform .

Ein Standard-Verfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein gängiges Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende: Man bestimme (wie auch bei obigem naiven Ansatz) zunächst die Jordannormalform . Dann hat man insbesondere schon alle Eigenwerte berechnet sowie die Kerne für alle , worin die Dimension des größten Jordanblocks zum Eigenwert bezeichnet. Anschließend arbeite man zur Bestimmung einer regulären Matrix mit die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben Eigenwert stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht.

Zu jedem Block der Größe und Eigenwert werden Spalten der Basistransformationsmatrix nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in die Spalten belegt, so werden die Vektoren in ebenso (von links nach rechts) in die Spalten eingefügt. Die Vektoren werden nun wie folgt bestimmt:

  • Man wähle beliebig, worin die Menge der zuvor berechneten Spalten (d. h. Basisvektoren) der Stufe aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert (sofern vorhanden) bezeichnet. Insbesondere an dieser relativ freien Wahl erkennt man, dass die Basistransformation nicht eindeutig sein kann. Wenn ist einfach ein Eigenvektor zum Eigenwert
  • Nach der Wahl obigen Vektors besteht nun für die weiteren Basisvektoren keine Wahlfreiheit mehr: Man muss sukzessiv für alle setzen.

Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, wurden am Ende alle Spalten von aufgefüllt. Es gilt: ist regulär und erfüllt , und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich derer die Darstellung besitzt.

Wird die alternative Darstellung der Jordanblöcke gewählt, d.h. mit 1 in der unteren Nebendiagonalen, muss lediglich die Reihenfolge der Basisvektoren pro Jordanblock umgekehrt werden.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als erläuterndes Beispiel betrachte man hierzu die Matrix

wie oben. Es gilt

und .

Ihre Jordannormalform lautet

.

Man beginne mit dem ersten Jordanblock der Dimension 2. Dazu wähle man

beliebig, beispielsweise . Dann ist zu wählen. Daraus erhält man . Nun gehe man zum zweiten Jordanblock der Größe 2 über. Man wähle nun

beliebig, beispielsweise . Dann ist , und man landet bei . Schließlich ist der letzte Jordanblock (der Größe 1) an der Reihe. Man wähle hierzu

beliebig, beispielsweise . Dann ist eine reguläre Matrix mit .

Reelle jordansche Normalform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Betrachtet man reelle Matrizen, so zerfällt deren charakteristisches Polynom im Allgemeinen nicht mehr vollständig in Linearfaktoren, sondern nur noch in irreduzible Faktoren, die in diesem Fall stets lineare oder quadratische Faktoren sind. Es stellt sich nun die Frage nach einer Normalform, wenn man ausschließlich reelle Basistransformationen zulässt.

Zu einem quadratischen irreduziblen Faktor mit definiert man als Jordanblock

Wir nennen die Anzahl der Zeilen (bzw. Spalten) die Größe dieses Blocks. Dann bezeichnet man

als reelle jordansche Normalform. Um sie und eine geeignete reelle Matrix zu bestimmen, kann man folgendermaßen vorgehen:

  • Bestimme das charakteristische Polynom und faktorisiere es in irreduzible Faktoren. Es ergibt sich
,
wobei paarweise verschiedene Eigenwerte mit Vielfachheit bezeichnen. Weiter seien darin , , und paarweise verschieden.
  • Für jedes bestimme man
für ,
worin die kleinste natürliche Zahl ist mit . Analog bestimme man für jedes
für ,
worin die kleinste natürliche Zahl ist mit .
Zudem setzen wir .
  • Nun stelle man die jordansche Normalform auf. Es gilt hierbei
    • ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert , deren Größe größer oder gleich ist.
    • ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Faktor , deren Größe größer oder gleich ist.
Außerdem ist die Summe der Jordanblockgrößen zum Eigenwert und die Summe der Jordanblockgrößen zum Faktor . Aus diesen Angaben kann man eindeutig die jordansche Normalform bestimmen.
  • Danach bestimme man die Basistransformationsmatrix , das heißt, man sucht eine reelle invertierbare Matrix , so dass .

Ein Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende:

  • Man arbeite die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben irreduziblen Faktor stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht. Zu jedem Block der Größe werden Spalten der Basistransformationsmatrix nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in die Spalten belegt, so werden die Vektoren in ebenso (von links nach rechts) in die Spalten eingefügt. Die Vektoren werden nun wie folgt bestimmt:
    • Zu einem Jordanblock der Größe zum Eigenwert wähle man beliebig, worin die Menge der zuvor berechneten Spalten (das heißt Basisvektoren) der Stufe aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert (sofern vorhanden) bezeichnet. Anschließend setze man sukzessiv für alle .
    • Zu einem Jordanblock der Größe zum irreduziblen Faktor wähle man einen Vektor , wobei aus den bereits berechneten Hauptvektoren der Stufen zum selben irreduziblen Faktor besteht.
Dann setze man für sukzessiv
Schließlich setzt man wie gehabt aus den Vektoren zusammen.
  • Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, werden am Ende alle Spalten von aufgefüllt. Es gilt: ist regulär und erfüllt , und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich derer die Darstellung besitzt.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte die Matrix , die wie folgt definiert ist

Ihr charakteristisches Polynom lautet , wobei irreduzibel über ist. Nun berechnen wir die jordansche Normalform:

.

Dieser Kern hat die Dimension 1. Also gibt es nur einen Jordanblock der Größe . Andererseits muss die Summe der Jordanblockgrößen 1 sein (die Potenz von ), so dass es genau einen Jordanblock zum Eigenwert 1 gibt, und er hat die Größe 1. Weiter hat

die Dimension 2, so dass es demzufolge nur Jordanblock der Größe gibt. Da die Summe der Jordanblockgrößen 4 sein muss (das Doppelte der Potenz von ), ergibt sich, dass dieser eine Jordanblock die Größe 4 besitzt. Außerdem errechnen wir

.

Somit ist die reelle jordansche Normalform von .

Zum Vergleich, die komplexe jordansche Normalform lautet .

Zum Berechnen einer Basistransformationsmatrix beginne man mit dem ersten reellen Eigenwert und dann mit dem (ersten) Jordanblock der Dimension 1. Man wähle

beliebig, also beispielsweise . Daraus erhält man .

Nun gehe man zum ersten irreduziblen Faktor (komplexen Eigenwert) und dann zum Jordanblock der Größe 4 über. Dazu wähle man

beliebig, beispielsweise . Dann ist , und zu wählen. Daraus erhält man: . ist eine reguläre Matrix mit .

Jordansche Normalform in allgemeinen Körpern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die jordansche Normalform kann noch weiter verallgemeinert werden auf allgemeine Körper. In diesem Zusammenhang wird sie häufig auch als Weierstraß-Normalform (bzw. Frobenius-Normalform) bezeichnet. Dies erlaubt eine eindeutige Matrixdarstellung von Endomorphismen von endlichdimensionalen Vektorräumen, bei der sich alle ähnlichen Endomorphismen durch eine eindeutige Matrix darstellen lassen. So können ähnliche lineare Abbildungen identifiziert werden. Das Lemma von Frobenius charakterisiert zueinander ähnliche Matrizen durch die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrizen und liefert die Frobenius-Normalform als Normalform des Vektorraums unter der Operation eines Polynomrings.

Durch die Darstellung in der Weierstraß-Normalform ist der Aufbau des Minimalpolynoms sofort erkennbar und das charakteristische Polynom leicht zu berechnen.

Anwendung bei linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein lineares Differentialgleichungssystem (von Gleichungen) erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

durch eine Matrix und eine stetige Funktion . Es ist bekannt, dass die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems

gegeben ist durch

,

worin

für

die Matrixexponentialfunktion bezeichnet. Man beachte:

  • Die Matrixexponentialfunktion von einem komplexen Jordanblock kann explizit ausgerechnet werden:
.
  • Die Matrixexponentialfunktion von einer komplexen Jordannormalform kann explizit berechnet werden mittels:
.
  • Die Matrixexponentialfunktion einer Matrix , deren komplexe Jordannormalform zusammen mit einer Basistransformationsmatrix bekannt ist, das heißt , kann explizit berechnet werden mittels:
.

Mit anderen Worten: Kennt man eine Darstellung mit der komplexen jordanschen Normalform , so kann man für jedes explizit ausrechnen, so dass zum Bestimmen von

nur noch das Integrationsproblem zu lösen ist, welches im homogenen Fall völlig entfällt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Diagonalisierung ist ein Spezialfall der jordanschen Normalform.
  • Die jordansche Normalform ist ein Spezialfall der Weierstraß-Normalform.
  • Die Existenz der jordanschen Normalform liefert die Existenz der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus.
  • Da für die Existenz einer jordanschen Normalform die Existenz von Nullstellen des charakteristischen Polynoms ausschlaggebend ist, kann die reelle Normalform wie hier beschrieben allgemeiner für affine Selbstabbildungen des zweidimensionalen affinen Raumes über einem euklidischen und eines affinen Raumes mit beliebiger, endlicher Dimension über einem reell abgeschlossenen Körper bestimmt werden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0.
  • Gilbert Strang: Lineare Algebra. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-540-43949-8. (Literatur zu Eigenwerten und Eigenvektoren sowie Matrizen-Rechnung).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wilhelm von Alten u.a., 4000 Jahre Algebra, Springer 2008, S. 409