Kürzbarkeit

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Kürzbarkeit ist eine Eigenschaft von Elementen einer algebraischen Struktur.

Kürzbare/reguläre Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Gruppoid/Magma .

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Element heißt linkskürzbar oder linksregulär, wenn für alle gilt:

und rechtskürzbar oder rechtsregulär, wenn für alle gilt:

heißt zweiseitig kürzbar bzw. zweiseitig regulär oder einfach nur kürzbar bzw. regulär, wenn c links- und rechtskürzbar ist.

Bemerkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist * kommutativ, sind alle drei Arten der Kürzbarkeit gleich, im Allgemeinen jedoch nicht.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • In einem Ring ist ein Element genau dann kürzbar, wenn es ein Nichtnullteiler ist.

Kürzbare/reguläre Halbgruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Halbgruppe heißt kürzbar oder regulär, wenn jedes kürzbar ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition oder mit der üblichen Multiplikation ist eine kürzbare Halbgruppe.
  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Maximum oder mit dem Minimum ist keine kürzbare Halbgruppe.