K-Theorie

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Das mathematische Teilgebiet der K-Theorie beschäftigt sich mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen (topologische K-Theorie) oder Ringen bzw. Schemata (algebraische K-Theorie). Der Name K-Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert; das K steht für „Klasse“ in einem sehr allgemeinen Sinn.

Topologische K-Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei X ein fester kompakter Hausdorffraum.

Dann ist K(X) der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen von komplexen Vektorbündeln über X nach der Untergruppe, die von Elementen der Form

für Vektorbündel E, F erzeugt wird. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt Grothendieck-Gruppe (nach Alexander Grothendieck). Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbündel, erhält man die reelle K-Theorie KO(X).

Zwei Vektorbündel E und F auf X definieren genau dann dasselbe Element in K(X), wenn sie stabil äquivalent sind, d.h. wenn es ein triviales Vektorbündel G gibt, so dass

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird K(X) zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der K-Theorie. Die reduzierte K-Theorie ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung ein; dabei bezeichnet S die reduzierte Einhängung.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • K ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume.
  • Es gibt einen topologischen Raum BU, so dass Elemente von K(X) den Homotopieklassen von Abbildungen X → BU entsprechen.
  • Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus K(X) → H*(X,Q), den Chern-Charakter.

Bott-Periodizität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieses nach Raoul Bott benannte Periodizitätsphänomen lässt sich auf die folgenden Arten formulieren:

  • und dabei ist die Klasse des tautologischen Bündels über .
  • .

In der reellen K-Theorie gibt es eine ähnliche Periodizität mit Periode 8.

Komplexe und Reelle K-Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der oben definierte Funktor wird auch als Komplexe K-Theorie bezeichnet. Wenn man die analogen Konstruktionen mit reellen Vektorbündeln durchführt, erhält man die Reelle K-Theorie . Für diese gilt Bott-Periodizität mit Periode , d.h. .

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die (komplexe oder reelle) topologische K-Theorie kann oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden.[1]

Algebraische K-Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

A sei stets ein unitärer Ring.

Niedrige Dimensionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

K0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Funktor K0 ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Ringe mit Einselement in die Kategorie der Gruppen; er ordnet einem Ring die Grothendieck-Gruppe der Isomorphieklassen von endlich erzeugten projektiven Moduln zu. Gelegentlich betrachtet man auch die reduzierte K-Gruppe , diese ist der Quotient von nach der vom freien -Modul erzeugten zyklischen Gruppe.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  • (Morita-Invarianz)

Für jeden Ring und gibt es einen kanonischen Isomorphismus .

  • (Serre-Swan Theorem)

Sei ein kompakter Hausdorffraum und der Ring der stetigen Funktionen. Dann gibt es einen Isomorphismus zwischen topologischer K-Theorie des Raumes und algebraischer K-Theorie des Ringes: .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
.

K1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hyman Bass schlug die folgende Definition für einen Funktor K1 vor: K1(A) ist die Abelisierung der unendlichen allgemeinen linearen Gruppe:

K1(A) = GL(A)ab

Dabei ist

GL(A) = colim GLn(A),

wobei GLn(A) in die obere linke Ecke von GLn+1(A) eingebettet werde: .

Siehe dazu auch das Lemma von Whitehead. Für einen Körper k ist K1(k) die Einheitengruppe.

K2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

J. Milnor fand den richtigen Kandidaten für K2: Es sei die Steinberggruppe (nach Robert Steinberg) St(A) eines Ringes A definiert als die Gruppe mit den Erzeugern xij(r) für positive ganze Zahlen i ≠ j und Ringelemente r und den Relationen

  1. für
  2. für

Diese Relationen gelten auch für die Elementarmatrizen, deshalb gibt es einen Gruppenhomomorphismus

K2(A) ist nun per Definition der Kern dieser Abbildung . Man kann zeigen, dass er mit dem Zentrum von St(A) übereinstimmt. K1 und K2 sind durch die exakte Sequenz

verbunden.

Für einen (kommutativen) Körper k gilt der Satz von Matsumoto

Milnors K-Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

J. Milnor definierte für einen Körper k "höhere" K-Gruppen durch

,

also als graduierte Bestandteile des Quotienten der Tensoralgebra über der abelschen Gruppe k× nach dem zweiseitigen Ideal, das von den Elementen der Form

für a ≠ 0,1 erzeugt wird. Für n = 0,1,2 stimmen die milnorschen K-Gruppen mit den oben definierten überein. Die Motivation zu dieser Definition stammt aus der Theorie der quadratischen Formen. Es gibt einen natürlichen Homomorphismus , sein Kokern ist per Definition die unzerlegbare K-Theorie . Für Zahlkörper gilt .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen endlichen Körper k und n ≠ 0,1 gilt

Für einen algebraischen Zahlkörper k und n ≠ 0,1,2 gilt

,

wobei die Anzahl der reellen Stellen von k ist.

Milnorvermutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt Isomorphismen

,

zwischen den milnorschen K-Gruppen eines Körpers k der Charakteristik ungleich zwei und der Galoiskohomologie bzw. dem graduierten Witt-Ring von k. Unter anderem für den Beweis dieses als Milnorvermutung bekannten Resultates wurde Wladimir Wojewodski auf dem internationalen Mathematikerkongress 2002 die Fieldsmedaille verliehen. Der Beweis basiert auf der von Wojewodski entwickelten Homotopietheorie algebraischer Varietäten und der von Beilinson und Lichtenbaum entworfenen motivischen Kohomologie.

Quillens K-Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die umfassendste Definition einer K-Theorie wurde von D. Quillen angegeben.

Klassifizierende Räume von Kategorien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine kleine Kategorie C sei der Nerv NC definiert als die simpliziale Menge, deren p-Simplizes die Diagramme

sind. Die geometrische Realisierung BC von NC heißt klassifizierender Raum von C.

Quillens Q-Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei P eine exakte Kategorie, d.h. eine additive Kategorie zusammen mit einer Klasse E von „exakten“ Diagrammen

für die gewisse Axiome gelten, die den Eigenschaften kurzer exakter Sequenzen in einer abelschen Kategorie nachgebildet sind.


Zu einer exakten Kategorie P sei nun die Kategorie QP definiert als die Kategorie, deren Objekte dieselben sind wie die von P und deren Morphismen zwischen zwei Objekten M′ und M″ Isomorphieklassen von exakten Diagrammen

sind.

Die K-Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die i-te K-Gruppe von P ist dann definiert durch

mit einem fest gewählten Nullobjekt 0. Hierbei sind die die (höheren) Homotopiegruppen.

stimmt mit der Grothendieckgruppe von überein, also mit dem Quotienten der freien abelschen Gruppe über den Isomorphieklassen in nach der Untergruppe, die von

für Diagramme

in E erzeugt wird.

Für einen unitären Ring A sind die K-Gruppen Ki(A) die eben definierten K-Gruppen der Kategorie der endlich erzeugten projektiven A-Moduln.

Für noethersche unitäre Ringe werden außerdem die Gruppen K′i(A) definiert als die K-Gruppen der Kategorie aller endlich erzeugten A-Moduln.

Für Schemata definiert Quillen , wobei die Kategorie der Vektorbündel auf ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Endliche Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der Körper mit Elementen. Dann ist

für alle
für alle .
Die ganzen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die -Gruppen von gilt[2][3]

Ist , so ist eine endliche Gruppe und ist , dann ist die direkte Summe aus und einer endlichen Gruppe. Mit Hilfe des Rost-Voevodsky-Theorems kann man für auch den Torsionsanteil in bestimmen.[4] Für ist falls die Kummer-Vandiver-Vermutung richtig ist.

Gruppenringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Farrell-Jones-Vermutung beschreibt die algebraische K-Theorie des Gruppenringes , wenn man die algebraische K-Theorie des Ringes kennt. Sie ist in verschiedenen Spezialfällen bewiesen, zum Beispiel für CAT(0)-Gruppen .

Die algebraische K-Theorie des Gruppenringes von Fundamentalgruppen hat Anwendungen in der algebraischen Topologie. Walls Endlichkeits-Obstruktion für CW-Komplexe ist ein Element in . Die Obstruktion für die Einfachheit einer Homotopieäquivalenz ist die Whitehead-Torsion in .

Zahlkörper und Ganzheitsringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Zahlkörper mit reellen und komplexen Einbettungen in . Sei der Ganzheitsring von . Dann ist für alle :

.

Die Isomorphismen werden durch den Borel-Regulator realisiert.[5]

Für ist .

K-Theorie für Banachalgebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die topologische K-Theorie lässt sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen, wobei die C*-Algebren eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume kann als K-Theorie der Banachalgebren der stetigen Funktionen umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung ein kontravianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.[6]

Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren. Im Folgenden sei eine -Banachalgebra, gehe aus durch Adjunktion eines Einselementes hervor.

K0[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vektorbündel der topologischen K-Theorie entsprechen auf der algebraischen Seite den endlich erzeugten, projektiven Moduln und diese sind direkte Summanden in freien Moduln , können also durch Idempotente einer hinreichend großen Matrix-Algebra über beschrieben werden. Für die Idempotenten gibt es verschiedene, geeignete Äquivalenzbegriffe, die alle zusammenfallen, wenn man in den induktiven Limes geht, wobei äquivalente Idempotente zu stabil-isomorphen, projektiven Moduln gehören. Eine mögliche Definition ist, dass zwei Idempotente und äquivalent heißen, wenn es ein gibt, so dass und Elemente mit existieren. Die Äquivalenzklasse von werde mit bezeichnet. Hat man zwei Idempotente und , so kann man etwa durch eine äquivalente Idempotente ersetzen, so dass , dann ist wieder eine Idempotente. Setzt man , so ist dadurch eine wohldefinierte Halbgruppenverknüpfung auf der Menge der Äquivalenzklassen von Idempotenten aus gegeben. Hiervon könnte man wieder die zugehörige Grothendieck-Gruppe bilden, aber zur Definition der Gruppe nimmt man eine kleine technische Veränderung vor, um auch Algebren ohne Einselement, etwa Ideale in Banachalgebren, adäquat behandeln zu können. Man definiert als Untergruppe der Grothendieck-Gruppe von , und zwar als Menge aller Differenzen , wobei idempotent sind, so dass .

Ist ein zweiseitiges, abgeschlossenes Ideal, so erhält man aus der kurzen, exakten Sequenz

eine exakte Sequenz

,

die sich im Allgemeinen weder nach links noch nach rechts exakt mit 0 fortsetzen lässt.

Die Definition ist so angelegt, dass für kompakte Räume gilt. Im Falle von C*-Algebren kann man bei obiger Konstruktion die Idempotenten durch Projektionen, das heißt durch selbstadjungierte Idempotente, ersetzen und erhält dasselbe Ergebnis, da jede Idempotente zu einer Projektion äquivalent ist. Als wichtige Anwendung lassen sich mittels K0 die AF-C*-Algebren klassifizieren.

K1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Definition von definieren wir als Menge aller invertierbaren Matrizen aus , deren Bild in der Quotientenalgebra gleich der Einheitsmatrix ist. Mittels

fassen wir als Untergruppe von auf und versehen den so entstehenden induktiven Limes mit der finalen Topologie. Die Zusammenhangskomponente des Einselements ist ein Normalteiler und man definiert

.

Trotz der Nicht-Kommutativität der Matrizenalgebren erweist sich die so definierte Gruppe als kommutativ. Während in der algebraischen K-Theorie zur Definition der K1-Gruppe die Kommutatoruntergruppe herausdividiert wird (Abelisierung), verwendet man in der topologischen K-Theorie für Banachalgebren die Zusammenhangskomponente des Einselements. Im Falle von C*-Algebren kann man in obiger Konstruktion die invertierbaren Elemente durch unitäre Elemente ersetzen und erhält dasselbe Ergebnis.

Ist ein zweiseitiges, abgeschlossenes Ideal, so erhält man aus der kurzen, exakten Sequenz

eine exakte Sequenz

,

die sich im Allgemeinen weder nach links noch nach rechts exakt mit 0 fortsetzen lässt.

Wieder ist die Definition so angelegt, dass für kompakte Räume gilt. Bezeichnet man mit die Banachalgebra aller stetigen Funktionen , die im Unendlichen verschwinden, versehen mit der Supremumsnorm, so kann man zeigen. Man nennt die Suspension von ; es handelt um die Banachachalgebrenversion der Suspension bzw. reduzierten Einhängung topologischer Räume. Mittels Iteration der Suspension könnte man höhere K-Gruppen definieren, etwa , aber wegen der auch hier gültigen Bott-Periodizität ist das nicht erforderlich.

Zyklische Sequenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie in der topologischen K-Theorie kann man eine Index-Abbildung und einen Bott-Isomorphismus konstruieren, so dass sich obige exakte Sequenzen zu folgender zyklischen exakten Sequenz zusammenfügen:

Diese Sequenz ist sehr nützlich bei der Berechnung von K-Gruppen. Sind einige Gruppen der Sequenz bekannt, so lässt dies wegen der Exaktheit Rückschlüsse auf die noch unbekannten zu.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktorialität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein stetiger Homomorphismus zwischen Banachalgebren. Dieser definiert Homomorphismen , die mit obigen Konstruktionen der K-Gruppen verträglich sind und so zu Gruppenhomomorphismen und führen. Dadurch werden und zu kovarianten Funktoren zwischen der Kategorie der Banachalgebren und der Kategorie der abelschen Gruppen.

Homotopieinvarianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei stetige Homomorphismen zwischen Banachalgebren heißen homotop, wenn es eine Familie von Homomorphismen gibt, so dass für jedes stetig ist und gilt. Homotope Homomorphismen induzieren dieselben Gruppenhomomorphismen zwischen den K-Gruppen.

Stabilität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Banachalgebra, so gilt für und alle . Ist ein induktiver Limes in der Kategorie der Banachalgebren, so gilt

.

Die Verträglichkeit mit der Bildung des induktiven Limes ergibt sich direkt aus den Konstruktionen der K-Gruppen mittels induktiver Limiten.

Speziell für C*-Algebren ist und der induktive Limes der in der Kategorie der C*-Algreben ist isomorph zum Tensorprodukt , wobei die C*-Algebra der kompakten Operatoren über einem separablen Hilbertraum ist. Damit gilt für .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

KK-Theorie

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Atiyah, Hirzebruch: Vector bundles and homogeneous spaces. 1961 Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III pp. 7–38 American Mathematical Society, Providence, R.I.
  2. Rognes: "K_4(Z) is the trivial group" (PDF; 145 kB), Topology 39 (2000), no. 2, 267–281
  3. Elbaz-Vincent, Gangl, Soulé: "Quelques calculs de la cohomologie de GL_N(Z) et de la K-theorie de Z" (PDF; 229 kB), C. R. Math. Acad. Sci. Paris 335 (2002), no. 4, 321–324
  4. Weibel: Algebraic K-theory of rings of integers in local and global fields (PDF; 506 kB)
  5. Borel: "Stable real cohomology of arithmetic groups" (PDF; 3,4 MB), Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 7 (1974), 235–272
  6. Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]