Kan-Erweiterung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung sind, als Kan-Erweiterungen. Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt zwei duale Definitionen: Die eine Erweiterung wird linksseitig genannt, weil sie über eine universelle Eigenschaft definiert wird, in der die Kan-Erweiterung als Quelle auftritt, während die andere Erweiterung rechtsseitig genannt wird, weil sie Ziel einer universellen Transformation ist.

Linksseitige Kan-Erweiterung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien , und Kategorien, L, X, F und M Funktoren und und natürliche Transformationen.

Die linksseitige Kan-Erweiterung eines Funktors entlang eines Funktors ist ein Paar , das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes und jedes gibt es genau ein mit , wobei .

Rechtsseitige Kan-Erweiterung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien , und Kategorien, R, X, F und M Funktoren und und natürliche Transformationen.

Die rechtsseitige Kan-Erweiterung eines Funktors entlang eines Funktors ist ein Paar , das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Für jedes und jedes gibt es genau ein mit , wobei .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Second Edition. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.