Kardioide

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Kardioid erzeugt durch einen rollenden Kreis auf einem Kreis mit demselben Radius.
Erzeugung einer Kardioide durch Abrollen eines Kreises auf einem Kreis mit gleichem Radius

Die Kardioide oder Herzkurve (von griechisch καρδία, deutsch ‚Herz‘) ist eine ebene Kurve, genauer gesagt eine algebraische Kurve 4. Ordnung, die ihren Namen wegen ihrer Form erhielt.

Lässt man auf der Außenseite eines gegebenen festen Kreises mit Mittelpunkt M und Radius  einen weiteren Kreis mit dem gleichen Radius abrollen und betrachtet man dabei einen bestimmten Punkt P auf dem abrollenden Kreis, so beschreibt P eine Kardioide. Damit erweist sich die Kardioide als spezielle Epizykloide.

Gleichungen der Kardioide[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der gemeinsame Radius der erzeugenden Kreise mit den Mittelpunkten , der Rollwinkel und der Nullpunkt der Startpunkt (s. Bild), so erhält man die

  • Parameterdarstellung:
.

Hieraus ergibt sich die Darstellung in

Mit der Substitution und erhält man nach Beseitigung der Wurzel die implizite Darstellung in

.
Beweis der Parameterdarstellung

Der Beweis der Parameterdarstellung lässt sich mit Hilfe komplexer Zahlen und ihre Darstellung als Gaußsche Zahlenebene leicht führen. Die Rollbewegung des schwarzen Kreises auf dem blauen Kreis kann man in die Hintereinanderausführung zweier Drehungen zerlegen. Die Drehung eines Punktes (komplexe Zahl) um den Nullpunkt mit dem Winkel wird durch die Multiplikation mit bewirkt.

Die Drehung um den Punkt ist .
Die Drehung um den Punkt ist .

Ein Kardioidenpunkt entsteht durch Drehung des Nullpunktes um und anschließende Drehung um jeweils um den Winkel :

.

hieraus ergibt sich

(Es wurden die Formeln benutzt. Siehe Formelsammlung Trigonometrie.)

Flächeninhalt und Kurvenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die obige Kardioide ist

  • der Flächeninhalt , und
  • die Kurvenlänge .

Die Beweise verwenden jeweils die Polardarstellung der obigen Kardioide. Formeln für den Flächeninhalt und die Kurvenlänge findet man z. B. hier.[1]

Beweis für den Flächeninhalt
.
Beweis für die Kurvenlänge
.

Eigenschaften der Kardioide[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sehnen einer Kardioide

Sehnen durch die Spitze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

S1: Die Sehnen durch die Spitze der Kardioide haben alle dieselbe Länge .
S2: Die Mittelpunkte der Sehnen durch die Spitze liegen auf dem festen Erzeugerkreis (s. Bild).
Beweis zu S1

Die Punkte liegen auf einer Sehne durch die Spitze (=Nullpunkt). Es ist

.
Beweis zu S2

Für den Beweis wird die Darstellung in der gaußschen Zahlenebene (s. o.) verwendet. Für die Punkte

,

ist

der Mittelpunkt der Sehne und liegt auf dem Kreis der Gaußschen Zahlenebene mit Mittelpunkt und Radius (s. Bild).

Die Kardioide entsteht durch Spiegelung einer Parabel am Einheitskreis (gestrichelt)

Kardioide als inverse Kurve einer Parabel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Inversion (Geometrie)
  • Die Kardioide ist das Bild einer Parabel unter einer Kreisspiegelung (Inversion), bei der das Inversionszentrum im Brennpunkt der Parabel liegt (s. Bild).

Im Beispiel des Bildes haben die Erzeugerkreise den Radius . Die gespiegelte Parabel genügt in x-y-Koordinaten der Gleichung .

Kardioide als Einhüllende einer Kreisschar

Kardioide als Einhüllende einer Kreisschar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bildet man bei der Inversion der Parabel im vorigen Abschnitt die Tangenten mit ab, so gehen sie als Geraden in eine Schar von Kreisen durch das Inversionszentrum (Nullpunkt) über. Eine genauere Untersuchung (Nachrechnen) zeigt: Die Mittelpunkte der Kreise liegen alle auf dem festen Erzeugerkreis (cyan) der Kardioide. Der Erzeugerkreis ist das Bild der Leitlinie der Parabel. Da sich auf der Leitlinie einer Parabel die Tangenten senkrecht schneiden und die Kreisspiegelung winkeltreu ist, schneiden sich Kreise der Kreisschar auf dem Erzeugerkreis auch senkrecht.

Die hier beschriebene Eigenschaft der Kreisschar erlaubt eine einfache Methode um eine Kardioide zu zeichnen:

1) Wähle einen Kreis k und einen Punkt O darauf,
2) zeichne Kreise durch O mit Mittelpunkte auf k,
3) zeichne die Einhüllende dieser Kreise.
Beweis mit Einhüllenden-Bedingung

Es sei durch

eine Schar von impliziten Kurven mit dem Scharparameter gegeben. Die Einhüllende (oder Hüllkurve) besteht aus Punkten , die für festes Lösungen des i.a. nicht linearen Gleichungssystems

  • (Einhüllenden-Bedingungen)

sind. ( bedeutet die partielle Ableitung nach , siehe Einhüllende)

Es sei k der Kreis mit Mittelpunkt und Radius . k hat die Parameterdarstellung . Die Kreisschar, deren Mittelpunkte auf k liegen und die durch den Punkt gehen, lassen sich implizit durch

beschreiben. Multipliziert man die Klammern aus, ergibt sich

Die 2. Scharbedingung ist

Man prüft leicht nach, dass die Punkte der Kardioide mit der Parameterdarstellung

das nicht lineare Gleichungssystem erfüllt. Der Scharparameter ist hier identisch mit dem Winkel-Parameter der Kardioide.

Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar

Eine ähnlich einfache Methode, eine Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar zu konstruieren, geht auf L. Cremona zurück:

  1. Zeichne einen Kreis, unterteile ihn gleichmäßig mit Punkten (s. Bild) und nummeriere diese fortlaufend.
  2. Zeichne die Sehnen: . (Man kann es so ausdrücken: Der zweite Punkt der Sehne bewegt sich mit doppelter Geschwindigkeit.)
  3. Die Einhüllende dieser Strecken ist eine Kardioide.
Kardioide: Erzeugung nach Cremona, zum Beweis
Beweis

Im Folgenden werden die trigonometrischen Formeln für verwendet. Um die Rechnungen einfach zu halten, wird der Beweis für die Kardioide mit der Polardarstellung geführt (s. Abschnitt anders orientierte Kardioiden).

Gleichung der Tangente
an die Kardioide mit der Polardarstellung :
Aus der Parameterdarstellung

berechnet man zunächst den Normalenvektoren . Die Gleichung der Tangente ist dann:

Mit Hilfe der trigonometrischen Formeln und der anschließenden Division durch lässt sich die Gleichung der Tangente so schreiben:

Gleichung der Sekante
an den Kreis mit Mittelpunkt und Radius : Für die Gleichung der Sekante durch die beiden Punkte ergibt sich:

Mit Hilfe der trigonometrischen Formeln und der anschließenden Division durch lässt sich die Gleichung der Sekante so schreiben:

Die beiden Winkel haben zwar verschiedene Bedeutungen (s. Bild), für ergibt sich aber dieselbe Gerade. Also ist auch jede obige Sekante an den Kreis eine Tangente der Kardioide und

  • die Kardioide ist die Einhüllende der Kreissehnen.

Bemerkung:
Der Beweis lässt sich auch mit den Einhüllen-Bedingungen einer impliziten Kurvenschar (s. vorigen Abschnitt) führen. Dabei beschreibt

die Schar der Sekanten an den Kreis (s.o.)

Beide Gleichungen sind für festen Parameter t Geradengleichungen. Der Schnittpunkt

der Geraden ist ein Punkt der Kardioide mit der Polardarstellung . (Bei Umformungen müssen immer wieder trigonometrische Formeln (s.o.) benutzt werden.)

Zu Kardioide als Kaustik:
Lichtquelle , Lichtstrahl , reflektierter Strahl
Kardioide als Kaustik eines Kreises mit Lichtquelle (rechts) auf dem Kreis

Kardioide als Kaustik eines Kreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die vorigen Überlegungen liefern auch einen Beweis dafür, dass als Kaustik eines Kreises mit der Lichtquelle auf dem Kreis eine Kardioide auftritt.

  • Gehen in der Ebene von einem Punkt eines spiegelnden Kreises Lichtstrahlen gemäß der Abbildung aus, so sind die im Innern des Kreises reflektierten Lichtstrahlen die Tangenten einer Kardioide. (s. Abschnitt Kardioide in Optik und Akustik)
Beweis

Der Kreis habe (wie im vorigen Abschnitt) den Mittelpunkt und den Radius . Der Kreis hat dann die Parameterdarstellung

Die Tangente im Kreispunkt hat den Normalenvektor . Der reflektierte Strahl muss dann (laut Abbildung) den Normalenvektor haben und durch den Kreispunkt gehen. Der reflektierte Strahl liegt also (s. vorigen Abschnitt) auf der Gerade mit der Gleichung

die wiederum Tangente an die Kardioide mit der Polardarstellung

des vorigen Abschnitts ist.

Bemerkung: Mehrfachreflexionen am Kreis werden bei diesen Überlegungen üblicherweise nicht berücksichtigt.

Kardioide als Fußpunktkurve eines Kreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kardioide: Lotfußpunkte auf Kreistangenten

Die Cremona-Erzeugung einer Kardioide sollte nicht verwechselt werden mit der folgenden Erzeugung:

Es sei ein Kreis und ein fester Punkt auf diesem Kreis gegeben. Es gilt:

  • Die Lotfußpunkte vom Punkt auf die Tangenten des Kreises bilden eine Kardioide.

Eine Kardioide ist somit eine spezielle Fußpunktkurve (engl.: pedal curve) eines Kreises.

Beweis

In der x-y-Ebene habe der Kreis den Mittelpunkt und den Radius . Die Tangente im Kreispunkt hat die Gleichung

Der Lotfußpunkt von auf die Tangente ist der Punkt mit dem noch unbekannten Abstand zum Nullpunkt . Einsetzen in die Tangentengleichung ergibt

die Polardarstellung einer Kardioide.

Bemerkung: Liegt der Punkt nicht auf dem Kreis , so entsteht eine pascalsche Schnecke (s. nächsten Abschnitt).

Kardioide als pascalsche Schnecke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine pascalsche Schnecke ist eine ebene Kurve mit einer Polardarstellung . Im Fall ergibt sich eine Kardioide. Also gilt:

Kardioide auf der Glasur eines Schmortopfes

Kardioide in Optik und Akustik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Lichterscheinung (Kaustik) in einer Kaffeetasse, die von Licht aus einer am Tassenrand platzierten Lichtquelle getroffen wird, ist eine Kardioide. Die Kaustik, die von parallel eintreffendem Licht erzeugt wird, wird allerdings durch eine andere Kurve (Nephroide) beschrieben; in anderen Fällen entsteht eine Mischform.

In der Tontechnik wird das Polardiagramm der Richtcharakteristik einer Kardioide mit Niere bezeichnet, auch wenn es eine Herzkurve darstellt.

4 Kardioiden mit Polardarstellung und Lage im Koordinatensystem

Anders orientierte Kardioiden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man andere Lagen der Kardioide im Koordinatensystem so ändern sich die Gleichungen, die sie beschreiben. Im Bild sind die 4 üblichen Orientierungen und ihre zugehörigen Polardarstellungen zu sehen.

Zur Geschichte der Kardioide[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Suche nach einer optimalen Form von Zahnrädern untersuchte Ole Roemer 1674 Epizykloiden und damit auch Kardioiden. Der Name Kardioide wurde zuerst von Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon verwendet. Die Länge einer Kardioide wurde 1708 von Philippe de la Hire berechnet. Eine Kardioide ist eine spezielle Pascalsche Schnecke, benannt nach Étienne Pascal, dem Vater von Blaise Pascal.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Kardioide – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Meyberg & Vachenauer: Höhere Mathematik 1, Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 198,199