Kardioide

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Kardioid erzeugt durch einen rollenden Kreis auf einem Kreis mit demselben Radius.

Die Kardioide oder Herzkurve (von griechisch καρδία "Herz") ist eine ebene Kurve, genauer gesagt eine algebraische Kurve 4. Ordnung, die ihren Namen wegen ihrer Form erhielt.

Lässt man auf der Außenseite eines gegebenen festen Kreises mit Mittelpunkt M und Radius a einen weiteren Kreis mit dem gleichen Radius abrollen und betrachtet man dabei einen bestimmten Punkt P auf dem abrollenden Kreis, so beschreibt P eine Kardioide. Damit erweist sich die Kardioide als spezielle Epizykloide.

Gleichungen der Kardioide[Bearbeiten]

Erzeugung einer Kardioide durch Abrollen eines Kreises auf einem Kreis mit gleichem Radius

Ist a der gemeinsame Radius der erzeugenden Kreise mit den Mittelpunkten (-a,0), (a,0), \varphi der Rollwinkel und der Nullpunkt der Startpunkt (s. Bild), so erhält man die

  • Parameterdarstellung:
x(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)\cdot\cos\varphi \ ,
y(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)\cdot\sin\varphi \ , \qquad 0\le \varphi < 2\pi .

Hieraus ergibt sich die Darstellung in

r(\varphi) = 2a (1 - \cos\varphi)

Mit der Substitution  \cos \varphi= x/r und  r=\sqrt{x^2+y^2} erhält man nach Beseitigung der Wurzel die implizite Darstellung in

(x^2 + y^2)^2 + 4 a x (x^2 + y^2) - 4a^2 y^2 \, = \, 0 .
Beweis der Parameterdarstellung

Der Beweis der Parameterdarstellung lässt sich mit Hilfe komplexer Zahlen und ihre Darstellung als Gaußsche Zahlenebene leicht führen. Die Rollbewegung des schwarzen Kreises auf dem blauen Kreis kann man in die Hintereinanderausführung zweier Drehungen zerlegen. Die Drehung eines Punktes z (komplexe Zahl) um den Nullpunkt 0 mit dem Winkel \varphi wird durch die Multiplikation mit  e^{i\varphi} bewirkt.

Die Drehung \Phi_+ um den Punkt a ist z \mapsto a+(z-a)e^{i\varphi} .
Die Drehung \Phi_- um den Punkt -a ist z \mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi}.

Ein Kardioidenpunkt  p(\varphi) entsteht durch Drehung des Nullpunktes um a und anschließende Drehung um -a jeweils um den Winkel \varphi:

p(\varphi)=\Phi_-(\Phi_+(0))=\Phi_-(a-ae^{i\varphi})=-a+( a-ae^{i\varphi}+a)e^{i\varphi}=a\;(-e^{i2\varphi}+2e^{i\varphi}-1).

hieraus ergibt sich


\begin{array}{cclcccc}
x(\varphi)&=&a\;(-\cos(2\varphi)+2\cos\varphi -1) &=& 2a(1-\cos\varphi)\cdot\cos\varphi && \\
y(\varphi)&=&a\;(-\sin(2\varphi)+2\sin\varphi)&=& 2a(1-\cos\varphi)\cdot\sin\varphi &.&
\end{array}

(Es wurden die Formeln   e^{i\varphi}=\cos\varphi+ i\sin\varphi, \ (\cos\varphi)^2+ (\sin\varphi)^2=1, \ \cos2\varphi=(\cos\varphi)^2- (\sin\varphi)^2,\; \sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi benutzt. Siehe Formelsammlung Trigonometrie.)

Flächeninhalt und Kurvenlänge[Bearbeiten]

Für die obige Kardioide ist

  • der Flächeninhalt  A= 6\pi a^2 , und
  • die Kurvenlänge  L= 16 a .

Die Beweise verwenden jeweils die Polardarstellung der obigen Kardioide. Formeln für den Flächeninhalt und die Kurvenlänge findet man z.B. hier [1].

Beweis für den Flächeninhalt
 A=2\cdot \tfrac{1}{2}\int_0^\pi{(r(\varphi))^2}\; d\varphi=\int_0^\pi{4a^2(1-\cos\varphi)^2}\; d\varphi=\cdots =4a^2\cdot\tfrac{3}{2}\pi=6\pi a^2 .
Beweis für die Kurvenlänge
L=2\int_0^\pi{\sqrt{r(\varphi)^2+(r'(\varphi))^2}} \; d\varphi=\cdots=8a\int_0^\pi\sqrt{\tfrac{1}{2}(1-\cos\varphi)}\; d\varphi= 8a\int_0^\pi\sin(\tfrac{\varphi}{2}) d\varphi=    16a .

Eigenschaften der Kardioide[Bearbeiten]

Sehnen einer Kardioide

Sehnen durch die Spitze[Bearbeiten]

S1:Die Sehnen durch die Spitze der Kardioide haben alle dieselbe Länge  4a .
S2:Die Mittelpunkte der Sehnen durch die Spitze liegen auf dem festen Erzeugerkreis (s. Bild).
Beweis zu S1

Die Punkte P: p(\varphi),\;Q: p(\varphi+\pi) liegen auf einer Sehne durch die Spitze (=Nullpunkt). Es ist

|PQ|= r(\varphi) + r(\varphi+\pi)
=2a (1 - \cos\varphi) + 2a (1 - \cos(\varphi+\pi))=\cdots = 4a .
Beweis zu S2

Für den Beweis wird die Darstellung in der gaußschen Zahlenebene (s. o.) verwendet. Für die Punkte

P: p(\varphi)=a\;(-e^{i2\varphi}+2e^{i\varphi}-1)
Q: p(\varphi+\pi)=a\;(-e^{i2(\varphi+\pi)}+2e^{i(\varphi+\pi)}-1)
=a\;(-e^{i2\varphi}-2e^{i\varphi}-1) ,

ist

M:\tfrac{1}{2}(p(\varphi)+p(\varphi+\pi))=\cdots=-a-ae^{i2\varphi}

der Mittelpunkt der Sehne PQ und liegt auf dem Kreis der Gaußschen Zahlenebene mit Mittelpunkt -a und Radius a (s. Bild).

Die Kardioide entsteht durch Spiegelung einer Parabel am Einheitskreis (gestrichelt)

Kardioide als inverse Kurve einer Parabel[Bearbeiten]

Hauptartikel: Inversion (Geometrie)
  • Die Kardioide ist das Bild einer Parabel unter einer Kreisspiegelung (Inversion), bei der das Inversionszentrum im Brennpunkt der Parabel liegt (s. Bild).

Im Beispiel des Bildes haben die Erzeugerkreise den Radius a=\tfrac{1}{2}. Die gespiegelte Parabel genügt in x-y-Koordinaten der Gleichung x=\tfrac{1}{2}(y^2-1).

Kardioide als Einhüllende einer Kreisschar

Kardioide als Einhüllende einer Kreisschar[Bearbeiten]

Bildet man bei der Inversion der Parabel im vorigen Abschnitt die Tangenten mit ab, so gehen sie als Geraden in eine Schar von Kreisen durch das Inversionszentrum (Nullpunkt) über. Eine genauere Untersuchung (Nachrechnen) zeigt: Die Mittelpunkte der Kreise liegen alle auf dem festen Erzeugerkreis (cyan) der Kardioide. Der Erzeugerkreis ist das Bild der Leitlinie der Parabel. Da sich auf der Leitlinie einer Parabel die Tangenten senkrecht schneiden und die Kreisspiegelung winkeltreu ist, schneiden sich Kreise der Kreisschar auf dem Erzeugerkreis auch senkrecht.

Die hier beschriebene Eigenschaft der Kreisschar erlaubt eine einfache Methode um eine Kardioide zu zeichnen:

1) Wähle einen Kreis k und einen Punkt O darauf,
2) zeichne Kreise durch O mit Mittelpunkte auf k,
3) zeichne die Einhüllende dieser Kreise.

Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar[Bearbeiten]

Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar

Eine ähnlich einfache Methode, eine Kardioide als Einhüllende einer Geradenschar zu konstruieren, geht auf L. Cremona zurück:

  1. Zeichne einen Kreis, unterteile ihn gleichmäßig mit 2N Punkten (s. Bild) und nummeriere diese fortlaufend.
  2. Zeichne die Sehnen: (1,2), (2,4), ...., (n,2n),...., (N,2N), (N+1,2), (N+2,4), ...., . (Man kann es so ausdrücken: Der zweite Punkt der Sehne bewegt sich mit doppelter Geschwindigkeit.)
  3. Die Einhüllende dieser Strecken ist eine Kardioide.
Kardioide: Erzeugung nach Cremona, zum Beweis
Beweis

Im Folgenden werden die trigonometrischen Formeln für  \cos \alpha+\cos\beta,\ \sin \alpha+\sin\beta, \ 1+\cos 2\alpha, \ \cos2\alpha , \sin 2\alpha verwendet. Um die Rechnungen einfach zu halten, wird der Beweis für die Kardioide mit der Polardarstellung r=2(1{\color{red}+}\cos\varphi) geführt (s. Abschnitt anders orientierte Kardioiden).

Gleichung der Tangente
an die Kardioide mit der Polardarstellung r=2(1+\cos\varphi):
Aus der Parameterdarstellung
x(\varphi)= 2(1+\cos\varphi)\cos \varphi,
 y(\varphi)=2(1+\cos\varphi)\sin \varphi

berechnet man zunächst den Normalenvektoren \vec n=(\dot y , -\dot x)^T  . Die Gleichung der Tangente \dot y(\varphi)\cdot (x -x(\varphi)) - \dot x(\varphi)\cdot (y-y(\varphi))= 0 ist dann:

(\cos2\varphi+\cos \varphi)\cdot x \ + \ (\sin 2\varphi+\sin \varphi)\cdot y = 2(1+\cos \varphi) \ .

Mit Hilfe der trigonometrischen Formeln und der anschließenden Division durch  \cos\tfrac{1}{2}\varphi lässt sich die Gleichung der Tangente so schreiben:

  • \cos(\tfrac{3}{2}\varphi) \cdot x +   \sin(\tfrac{3}{2}\varphi) \cdot y = 4 (\cos\tfrac{1}{2}\varphi)^3 \quad 0 < \varphi < 2\pi,\ \varphi \ne \pi .
Gleichung der Sekante
an den Kreis mit Mittelpunkt (1,0) und Radius 3: Für die Gleichung der Sekante durch die beiden Punkte (1+3\cos\theta, 3\sin\theta), \ (1+3\cos{\color{red}2}\theta, 3\sin{\color{red}2}\theta)) ergibt sich:
(\sin\theta-\sin 2\theta)\cdot x \ + \ (\cos 2\theta-\sin \theta)\cdot y = -2\cos \theta -\sin2\theta \ .

Mit Hilfe der trigonometrischen Formeln und der anschließenden Division durch  \sin\tfrac{1}{2}\theta lässt sich die Gleichung der Sekante so schreiben:

  • \cos(\tfrac{3}{2}\theta) \cdot x +   \sin(\tfrac{3}{2}\theta) \cdot y = 4 (\cos\tfrac{1}{2}\theta)^3 \quad 0 < \theta < 2\pi .

Die beiden Winkel \varphi , \theta haben zwar verschiedene Bedeutungen (s. Bild), für \varphi=\theta ergibt sich aber dieselbe Gerade. Also ist auch jede obige Sekante an den Kreis eine Tangente der Kardioide und

  • die Kardioide ist die Einhüllende der Kreissehnen.

Kardioide als Fußpunktkurve eines Kreises[Bearbeiten]

Kardioide: Lotfußpunkte auf Kreistangenten

Die Cremona-Erzeugung einer Kardioide sollte nicht verwechselt werden mit der folgenden Erzeugung:

Es sei ein Kreis k und ein fester Punkt  O auf diesem Kreis gegeben. Es gilt:

  • Die Lotfußpunkte vom Punkt O auf die Tangenten des Kreises k bilden eine Kardioide.

Eine Kardioide ist somit eine spezielle Fußpunktkurve (engl.: pedal curve) eines Kreises.

Beweis

In der x-y-Ebene habe der Kreis k den Mittelpunkt (2a,0) und den Radius 2a. Die Tangente im Kreispunkt (2a+2a\cos\varphi, 2a\sin \varphi) hat die Gleichung

(x-2a)\cdot\cos \varphi + y\cdot\sin\varphi = 2a\ .

Der Lotfußpunkt von O auf die Tangente ist der Punkt (r\cos \varphi, r\sin \varphi) mit dem noch unbekannten Abstand r zum Nullpunkt O. Einsetzen in die Tangentengleichung ergibt

(r\cos\varphi-2a)\cos\varphi + r\sin^2\varphi =2a \quad \rightarrow \quad  r=2a(1+\cos \varphi)

die Polardarstellung einer Kardioide.

Bemerkung: Liegt der Punkt O nicht auf dem Kreis k, so entsteht eine pascalsche Schnecke (s. nächsten Abschnitt).

Kardioide als pascalsche Schnecke[Bearbeiten]

Eine pascalsche Schnecke ist eine ebene Kurve mit einer Polardarstellung r=b+a\cos t. Im Fall b=a ergibt sich eine Kardioide. Also gilt:

Kardioide in Optik und Akustik[Bearbeiten]

  • Die Lichterscheinung (Kaustik) in einer Kaffeetasse, die von Licht aus einer am Tassenrand platzierten Lichtquelle getroffen wird, ist eine Kardioide. Die Kaustik, die von parallel eintreffendem Licht erzeugt wird, wird allerdings durch eine andere Kurve (Nephroide) beschrieben; in anderen Fällen entsteht eine Mischform.

In der Tontechnik wird das Polardiagramm der Richtcharakteristik einer Kardioide mit Niere bezeichnet, auch wenn es eine Herzkurve darstellt.

4 Kardioiden mit Polardarstellung und Lage im Koordinatensystem

Anders orientierte Kardioiden[Bearbeiten]

Wählt man andere Lagen der Kardioide im Koordinatensystem so ändern sich die Gleichungen, die sie beschreiben. Im Bild sind die 4 üblichen Orientierungen und ihre zugehörigen Polardarstellungen zu sehen.

Zur Geschichte der Kardioide[Bearbeiten]

Bei der Suche nach einer optimalen Form von Zahnrädern untersuchte Ole Roemer 1674 Epizykloiden und damit auch Kardioiden. Der Name Kardioide wurde zuerst von Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon verwendet. Die Länge einer Kardioide wurde 1708 von Philippe de la Hire berechnet. Eine Kardioide ist eine spezielle Pascalsche Schnecke, benannt nach Étienne Pascal, dem Vater von Blaise Pascal.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweis[Bearbeiten]

  1. Meyberg & Vachenauer: Höhere Mathematik 1, Springer-Verlag, 1995, ISBN 3 540 59188 5, S. 198,199

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Kardioide – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien