Kartesisches Blatt

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Das kartesische Blatt (oder cartesische Blatt, folium cartesii) ist eine ebene algebraische Kurve 3. Ordnung, die nach dem französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes benannt ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine reelle Zahl, dann ist das kartesische Blatt in kartesischen Koordinaten definiert durch die Gleichung

Andere Gleichungen des kartesischen Blattes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Parameterdarstellung kann das kartesische Blatt durch die Gleichungen

beschrieben werden, wobei ist.

In Polarkoordinaten wird das kartesische Blatt durch die Gleichung

beschrieben.

Eigenschaften des kartesischen Blattes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden wird jeweils vorausgesetzt, dass die Koordinatenachsen so liegen wie in der Skizze.

  • Das kartesische Blatt ist achsensymmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten (Gleichung y = x). Genau zwei Punkte der Kurve liegen auf der Symmetrieachse, nämlich der Ursprung und der Scheitel mit den Koordinaten .
  • Der Ursprung des Koordinatensystems ist Doppelpunkt der Kurve. Die x- bzw. die y-Achse sind die jeweiligen Tangenten im Ursprung.
  • Die Gerade mit der Gleichung (in der Skizze blau gestrichelt) ist Asymptote der Kurve.
  • Für beide Kurvenzweige beträgt der Krümmungsradius im Ursprung .
  • Die Schleife des kartesischen Blattes schließt eine Fläche mit dem Inhalt ein.
  • Die Fläche, die von der Kurve und der Asymptote begrenzt wird und sich ins Unendliche erstreckt, hat denselben Flächeninhalt .

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]