Kartesisches Produkt

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Das kartesische Produkt der beiden Mengen und

Das kartesische Produkt oder Mengenprodukt ist in der Mengenlehre eine grundlegende Konstruktion, aus gegebenen Mengen eine neue Menge zu erzeugen. Gelegentlich wird für das kartesische Produkt auch die Bezeichnung „Kreuzprodukt“ verwendet, die jedoch auch andere Bedeutungen hat, siehe Kreuzprodukt. Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen, wobei die erste Komponente ein Element der ersten Menge und die zweite Komponente ein Element der zweiten Menge ist. Allgemeiner besteht das kartesische Produkt mehrerer Mengen aus der Menge aller Tupel von Elementen der Mengen, wobei die Reihenfolge der Mengen und damit der entsprechenden Elemente fest vorgegeben ist. Die Ergebnismenge des kartesischen Produkts wird auch Produktmenge, Kreuzmenge oder Verbindungsmenge genannt. Das kartesische Produkt ist nach dem französischen Mathematiker René Descartes benannt, der es zur Beschreibung des kartesischen Koordinatensystems verwendete und damit die analytische Geometrie begründete.

Produkt zweier Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das kartesische Produkt (lies „A kreuz B“) zweier Mengen und ist definiert als die Menge aller geordneten Paare , wobei ein Element aus und ein Element aus ist. Dabei wird jedes Element aus mit jedem Element aus kombiniert. Formal ist das kartesische Produkt durch

definiert. Insbesondere ist es auch möglich, das kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst zu bilden und man schreibt dann

.

Gelegentlich wird für das kartesische Produkt auch der Begriff „Kreuzprodukt“ verwendet, der jedoch weitere Bedeutungen hat, siehe Kreuzprodukt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das kartesische Produkt zweier Mengen besteht aus allen möglichen geordneten Paaren von Elementen der Mengen.

Das kartesische Produkt der beiden Mengen und ist

.

Das kartesische Produkt ist hingegen eine andere Menge, und zwar

,

da bei geordneten Paaren die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielt. Das kartesische Produkt von mit sich selbst ist

.

Die reelle Zahlenebene entsteht aus dem kartesischen Produkt der reellen Zahlen mit sich selbst:

.

Die Tupel nennt man auch kartesische Koordinaten. Das kartesische Produkt zweier reeller Intervalle und ergibt das Rechteck

.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zahl der Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Solid white.svg a b c d e f g h Solid white.svg
8 Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg 8
7 Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg 7
6 Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg 6
5 Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg 5
4 Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg 4
3 Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg 3
2 Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg 2
1 Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg Chess d45.svg Chess l45.svg 1
a b c d e f g h
Ein Schachbrett besitzt Felder, die durch ein Paar aus Buchstaben der Linie und Zahl der Reihe identifiziert werden.

Sind die Mengen und endlich, dann ist ihr kartesisches Produkt eine endliche Menge geordneter Paare. Die Anzahl der Paare entspricht dabei dem Produkt der Anzahlen der Elemente der Ausgangsmengen, das heißt

In dem Spezialfall, dass ist, gilt

.

Enthält zumindest eine der beiden Mengen und unendlich viele Elemente, dann besteht ihr kartesisches Produkt aus unendlich vielen Paaren. Das kartesische Produkt zweier [Abzählbare Menge|[abzählbar]] unendlicher Mengen ist dabei nach Cantors erstem Diagonalargument ebenfalls abzählbar. Ist zumindest eine der beiden Mengen überabzählbar, so ist auch ihre Produktmenge überabzählbar.

Leere Menge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da aus der leeren Menge kein Element ausgewählt werden kann, ergibt das kartesische Produkt der leeren Menge mit einer beliebigen Menge wieder die leere Menge. Allgemeiner gilt

,

das heißt, das kartesische Produkt zweier Mengen ist genau dann leer, wenn zumindest eine der beiden Mengen leer ist.

Nichtkommutativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das kartesische Produkt ist nicht kommutativ, das heißt für nichtleere Mengen und mit ist

,

denn in den Paaren der Menge ist das erste Element aus und das zweite aus , während in den Paaren der Menge das erste Element aus und das zweite aus ist. Es gibt allerdings eine kanonische Bijektion zwischen den beiden Mengen, nämlich

,

mit der die Mengen miteinander identifiziert werden können.

Nichtassoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das kartesische Produkt ist auch nicht assoziativ, das heißt für nichtleere Mengen , und gilt im Allgemeinen

,

denn die Menge auf der linken Seite enthält Paare, deren erstes Element aus und deren zweites Element ein Paar aus ist, wohingegen die Menge auf der rechten Seite Paare enthält, deren erstes Element ein Paar aus und deren zweites Element aus ist. Auch hier gibt es eine kanonische Bijektion zwischen diesen beiden Mengen, nämlich

.

Manche Autoren identifizieren die Paare und mit dem geordneten Tripel , wodurch das kartesische Produkt auch assoziativ wird.

Distributivität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Illustration des ersten Distributivgesetzes

Für das kartesische Produkt gelten die folgenden Distributivgesetze bezüglich Vereinigung, Schnitt und Differenzbildung von Mengen:

Monotonie und Komplement[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das kartesische Produkt verhält sich monoton bezüglich Teilmengenbildung, das heißt sind die Mengen und nichtleer, dann gilt

.

Insbesondere gilt dabei Gleichheit

.

Betrachtet man die Menge als Grundmenge von und die Menge als Grundmenge von , dann hat das Komplement von in die Darstellung

.

Weitere Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kartesische Produkte je zweier Intervalle, ihrer Schnitte und ihrer Vereinigungen

Es gilt zwar

,

aber im Allgemeinen ist

,

da die Menge auf der linken Seite Paare aus und enthält, die in der Menge auf der rechten Seite nicht enthalten sind.

Produkt endlich vieler Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner ist das kartesische Produkt von Mengen definiert als die Menge aller -Tupel , wobei für jeweils ein Element aus der Menge ist. Formal ist das mehrfache kartesische Produkt durch

definiert. Mit Hilfe des Produktzeichens wird das mehrfache kartesische Produkt auch durch

notiert. Das -fache kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst schreibt man auch als

.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist , dann ist

.
In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem wird jeder Punkt als Tripel von Koordinaten dargestellt.

Der euklidische Raum besteht aus dem dreifachen kartesischen Produkt der reellen Zahlen :

.

Die 3-Tupel sind die dreidimensionalen kartesischen Koordinaten. Das kartesische Produkt dreier reeller Intervalle , und ergibt den Quader

.

Allgemein ergibt das -fache kartesische Produkt der reellen Zahlen den Raum und das kartesische Produkt von reellen Intervallen ein Hyperrechteck.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zahl der Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind die Mengen alle endlich, dann ist ihr kartesisches Produkt ebenfalls eine endliche Menge, wobei die Anzahl der Elemente von gleich dem Produkt der Elementzahlen der Ausgangsmengen ist, das heißt

bzw. in anderer Schreibweise

.

In dem Spezialfall, dass alle Mengen gleich einer Menge sind, gilt

.

Das kartesische Produkt endlich vieler abzählbar unendlicher Mengen ist ebenfalls abzählbar, wie sich durch Iteration des Arguments für das kartesische Produkt zweier Mengen mit Hilfe der Cantorschen Tupelfunktion zeigen lässt.

Leeres Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Leeres Produkt

Das kartesische Produkt von null Mengen ist die Menge, die als einziges Element das leere Tupel enthält, das heißt

Monotonie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind die Mengen und nichtleer, dann gilt wie beim kartesischen Produkt zweier Mengen Monotonie

und Gleichheit

.

Produkt unendlich vieler Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist auch möglich, das kartesische Produkt unendlich vieler Mengen zu definieren. Ist dazu eine Indexmenge und eine Familie von Mengen, dann definiert man das kartesische Produkt der Mengen durch

.

Dies ist die Menge aller Abbildungen von in die Vereinigung der Mengen , für die das Bild in liegt. Sind alle gleich einer Menge , dann ist das kartesische Produkt

die Menge aller Funktionen von nach . Sind die Mengen unterschiedlich, so ist das kartesische Produkt allerdings weit weniger anschaulich. Bereits die Frage, ob ein beliebiges kartesisches Produkt nichtleerer Mengen nichtleer ist, ist mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF nicht entscheidbar; die Behauptung, dass es nichtleer ist, ist eine Formulierung des Auswahlaxioms, welches zu ZF hinzugefügt wird, um die Mengenlehre ZFC („Zermelo-Fraenkel + Choice“) zu erhalten.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein wichtiger Spezialfall eines unendlichen kartesischen Produkts entsteht durch die Wahl der natürlichen Zahlen als Indexmenge. Das kartesische Produkt einer Folge von Mengen

entspricht dann der Menge aller Folgen, deren -tes Folgenglied in der Menge liegt. Sind beispielsweise alle , dann ist

die Menge aller reeller Zahlenfolgen. Das abzählbare kartesische Produkt lässt sich bijektiv auf das allgemein definierte kartesische Produkt abbilden, denn jede Folge definiert eine Funktion mit und umgekehrt lässt sich jede solche Funktion als Folge schreiben. Auch das kartesische Produkt endlich vieler Mengen lässt sich unter Verwendung endlicher Folgen als Spezialfall der allgemeinen Definition auffassen.

Abgeleitete Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine binäre Relation zwischen zwei Mengen ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts der beiden Mengen. Insbesondere ist damit jede Abbildung eine Teilmenge des kartesischen Produkts aus Definitions- und Zielmenge der Abbildung. Allgemeiner ist eine -stellige Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von Mengen.
  • Eine Projektion ist eine Abbildung von dem kartesischen Produkt zweier Mengen zurück in eine dieser Mengen. Allgemeiner ist eine Projektion eine Abbildung von dem kartesischen Produkt einer Familie von Mengen auf das kartesische Produkt einer Teilfamilie dieser Mengen, die Elemente mit bestimmten Indizes auswählt.
  • Eine zweistellige Verknüpfung ist eine Abbildung von dem kartesischen Produkt zweier Mengen in eine weitere Menge. Allgemeiner ist eine -stellige Verknüpfung eine Abbildung von dem kartesischen Produkt von Mengen in eine weitere Menge. Jede -stellige Verknüpfung kann somit auch als -stellige Relation aufgefasst werden.
  • Ein direktes Produkt ist ein Produkt algebraischer Strukturen, wie zum Beispiel von Gruppen oder Vektorräumen, das aus dem kartesischen Produkt der Trägermengen besteht und zusätzlich mit ein oder mehreren komponentenweisen Verknüpfungen versehen ist. Eine direkte Summe ist eine Teilmenge des direkten Produkts, die sich nur für Produkte unendlich vieler Mengen vom direkten Produkt unterscheidet; sie besteht aus allen Tupeln, die nur an endlich vielen Stellen von einem bestimmten Element (meist dem neutralen Element einer Verknüpfung) verschieden sind.
  • Das kategorielle Produkt entspricht in der Kategorie der Mengen dem kartesischen Produkt und in der Kategorie der Gruppen sowie in anderen Kategorien algebraischer Strukturen dem direkten Produkt.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2. verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]