Kegelstumpf

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Kegelstumpf
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Kegelstumpf ist in der Geometrie die Bezeichnung für einen speziellen Rotationskörper. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundfläche einen kleineren Kegel abschneidet. Dieser kleinere Kegel wird als Ergänzungskegel des Kegelstumpfs bezeichnet.

Die größere der beiden parallelen Kreisflächen ist die Grundfläche , die kleinere die Deckfläche . Die dritte der begrenzenden Flächen wird als Mantelfläche bezeichnet. Diese Bezeichnungen sind zugleich für die Flächeninhalte dieser Flächen üblich. Unter der Höhe des Kegelstumpfs versteht man den Abstand von Grund- und Deckfläche.

Nahe verwandt mit dem Kegelstumpf ist der Pyramidenstumpf.

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit werde der Radius der Deckfläche, mit der Radius der Grundfläche bezeichnet. sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

Formeln zum Kegelstumpf
Volumen

01-Kegelstumpf-Definition-Höhe.svg

Länge einer Mantellinie
Mantelfläche
Deckfläche
Grundfläche
Oberfläche
Höhe des Kegelstumpfs

Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Berechnung des Volumens des Kegelstumpfs wird die Höhe des Ergänzungskegels mit bezeichnet. Das Volumen des Kegelstumpfs ergibt sich dann als Differenz zwischen dem Volumen des ganzen Kreiskegels (Radius und Höhe ) und dem Volumen des Ergänzungskegels (Radius und Höhe ). Mit Hilfe des Strahlensatzes (Vierstreckensatz) folgt, dass

.

Nennt man diesen Quotienten , so gilt

und

Die Höhe ist somit

Das Volumen des großen Kegels ist

das Volumen des kleinen Kegels ist

das Volumen des Kegelstumpfs ist die Differenz


Alternativ kann das Volumen eines Kegelstumpfes mithilfe eines Integrals berechnet werden, da ein solcher Körper als ein um die x-Achse rotierter Rotationskörper betrachtet werden kann. Die Formel zur Volumenberechnung dieser Rotationskörper lautet: . Setzt man hier für ein und errechnet das Integral in den Grenzen von und , so erhält man das Volumen eines Kegelstumpfes mit den entsprechenden Parametern. Dass diese Formel der obigen Formel gleicht, ergibt sich durch folgende Rechnung:

Mantelfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Berechnung der Mantelfläche des Kegelstumpfs werde die Mantellinie des abgeschnittenen kleinen Kegels mit bezeichnet. Laut Strahlensatz gilt

,

also

.

Die Mantelfläche berechnet sich nun aus der Differenz der Mantelfläche des großen Kegels (Radius und Mantellinie ) und der Mantelfläche des kleinen weggeschnittenen Kegels (Radius und Mantellinie ):

Oberfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Körpernetz eines Kegelstumpfs: Der Umfang u1 der Deckfläche D ist gleich der Bogenlänge b1. Der Umfang u2 der Grundfläche G ist gleich der Bogenlänge b2. M ist die Mantelfläche.

Die Oberfläche des Kegelstumpfs berechnet sich aus der Summe aus Deckfläche, Grundfläche und Mantelfläche:

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Trinkglas[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Martiniglas hat annähernd die Form eines Kegels. Der nicht gefüllte Teil hat die Form eines Kegelstumpfs.

Einige Trinkgläser, zum Beispiel ein Martiniglas, haben annähernd die Form eines Kegels.

Ein Martiniglas mit dem Durchmesser 103 Millimeter und der Füllhöhe 59 Millimeter wird bis zu einer Höhe von 40 Millimetern mit Orangensaft gefüllt. Daraus ergibt sich , , und daraus das Volumen des nicht gefüllten Teils, der die Form eines Kegelstumpfs hat:

Der nicht gefüllte Teil hat also ein Volumen von etwa 113 Millilitern.

Der Anteil des Martiniglas, der gefüllt ist, beträgt

Das Martiniglas ist also zu etwa 31,2 Prozent mit Orangensaft gefüllt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse. Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9, S. 95 ff.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Kegelstumpf – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Kegelstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen