Kegelstumpf

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Kegelstumpf

Kegelstumpf ist in der Geometrie die Bezeichnung für einen speziellen Rotationskörper. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einem geraden Kreiskegel parallel zur Grundfläche einen kleineren Kegel abschneidet. Dieser kleinere Kegel wird als Ergänzungskegel des Kegelstumpfes bezeichnet.

Die größere der beiden parallelen Kreisflächen ist die Grundfläche , die kleinere die Deckfläche . Die dritte der begrenzenden Flächen wird als Mantelfläche bezeichnet, diese Bezeichnungen sind zugleich für die Flächeninhalte dieser Flächen üblich. Unter der Höhe des Kegelstumpfs versteht man den Abstand von Grund- und Deckfläche.

Nahe verwandt ist der Pyramidenstumpf.

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit werde der Radius der Deckfläche, mit der Radius der Grundfläche bezeichnet. sei der Winkel zwischen einer Mantellinie und der Kegelachse.

Formeln zum Kegelstumpf
Volumen
Länge einer Mantellinie
Mantelfläche
Deckfläche
Grundfläche
Höhe des Kegelstumpfs

Beweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Volumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Berechnung des Volumens des Kegelstumpfes werde die Höhe des Ergänzungskegels mit bezeichnet. Das Volumen des Kegelstumpfs ergibt sich dann als Differenz zwischen dem Volumen des ganzen Kreiskegels (Radius und Höhe ) und dem Volumen des Ergänzungskegels (Radius und Höhe ). Mit Hilfe des Strahlensatzes (Vierstreckensatz) folgt, dass

.

Nennt man diesen Quotienten , so gilt

und

Die Höhe ist somit

Das Volumen des großen Kegels ist

das Volumen des kleinen Kegels ist

das Volumen des Kegelstumpfes ist die Differenz

Mantelfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Berechnung der Mantelfläche des Kegelstumpfes werde die Mantellinie des abgeschnittenen kleinen Kegels mit bezeichnet. Laut Strahlensatz gilt

,

also

.

Die Mantelfläche berechnet sich nun aus der Differenz der Mantelfläche des großen Kegels (Radius und Mantellinie ) und der Mantelfläche des kleinen weggeschnittenen Kegels (Radius und Mantellinie ):

Oberfläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Oberfläche berechnet sich aus der Summe aus Deckfläche, Grundfläche und Mantelfläche:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse. Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Aufl. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9, S. 95 ff.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Kegelstumpf – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Kegelstumpf – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen