Klassenlogik

Die Klassenlogik ist im weiteren Sinn eine Logik, zu deren Objekte auch Klassen gehören. Im engeren Sinn spricht man von einer Klassenlogik dann, wenn neben den Junktoren und Quantoren auch der Klassenbildungsoperator $\{x\mid A(x)\}$ Teil der logischen Sprache ist; dabei ist $A(x)$ eine Aussage der Logik. Diese Klassenlogik ist eine Erweiterung der Prädikatenlogik und eignet sich besonders zur Darstellung der Mengenlehre.

Klassenlogik im weiteren Sinn

Vorläufer der Klassenlogik sind die Dihairesis bei Platon und vor allem die Syllogistik des Aristoteles mitsamt ihren späteren Modifikationen. Aristoteles arbeitet meist mit Begriffen (termini, Termen), ohne diese als Klassen zu bezeichnen. Erst 1847 bezeichnete George Boole in seiner mathematischen Analyse der aristotelischen Syllogistik Begriffe als Klassen; er beschrieb aber Klassen nicht durch ihre Elemente und deren Eigenschaften, so dass bei ihm noch keine Klassenlogik im engeren Sinn vorliegt. Das gilt auch für die moderne boolesche Algebra, die Booles Nachfolger aus dessen Kalkül entwickelten.

Auch die Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre NBG von 1937 bis 1940 ist eine Klassenlogik im weiteren Sinn, die als Erweiterung der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF konzipiert ist, so dass sie außer den üblichen Mengen auch sogenannte echte Klassen als Objekte hat, die in ZF fehlen, weil sie in der naiven Mengenlehre Antinomien erzeugen. NBG und ZF bauen in der heute üblichen strengen Formalisierung auf einer Prädikatenlogik auf und haben offiziell keine für die Klassenlogik typischen Klassenterme $\left\{x\mid A(x)\right\}$, sondern benützen diese nur virtuell als Schreibweise auf metasprachlicher Ebene. Beide Mengenlehren werden also in der Praxis klassenlogisch notiert. Sie lassen sich aber auch problemlos im Rahmen einer Klassenlogik im engeren Sinn formal korrekt aufbauen.

Klassenlogik im engeren Sinn

Die erste Klassenlogik im engeren Sinn schuf Giuseppe Peano 1889 als Grundlage für seine Arithmetik (Peano-Axiome). Er führte den Klassenterm ein, der Klassen formal korrekt durch eine Eigenschaft ihrer Elemente beschreibt. Heute notiert man diesen Klassenterm in der Form $\left\{x\mid A(x)\right\}$, bei dem $A(x)$ eine beliebige Aussage ist, die alle Klassenelemente $x$ erfüllen. Peano axiomatisierte erstmals den Klassenterm und benutzte ihn uneingeschränkt. Gottlob Frege versuchte 1893 ebenfalls, die Arithmetik in einer Logik mit Klassentermen zu begründen; in ihr entdeckte Bertrand Russell 1902 aber einen Widerspruch, der als Russellsche Antinomie bekannt wurde. Dadurch wurde allgemein bewusst, dass man Klassenterme nicht bedenkenlos verwenden kann.

Zur Lösung der Problematik entwickelte Russell von 1903 bis 1908 seine Typentheorie, die nur noch einen sehr eingeschränkten Gebrauch von Klassentermen zuließ. Auf Dauer setzte sie sich aber nicht durch, sondern die bequemere und leistungsfähigere, von Ernst Zermelo 1907 initiierte Mengenlehre. Diese nutzt aber in ihrer jetzigen Form (ZF oder NBG) keine Klassenlogik, sondern die Prädikatenlogik, da sie den Klassenterm nicht axiomatisiert, sondern nur in der Praxis als nützliche Schreibweise gebraucht. Willard Van Orman Quine beschrieb 1937 eine sich nicht an Cantor oder Zermelo-Fraenkel, sondern an der Typentheorie orientierende Mengenlehre in New Foundations (NF). 1940 erweiterte Quine NF zur Mathematical Logic (ML). Da sich in der Erstfassung von ML aber die Antinomie von Burali-Forti herleiten ließ, präzisierte Quine ML, behielt die verbreitete Anwendung von Klassen bei, griff einen Vorschlag von Hao Wang auf und führte 1963 in seiner Mengenlehre $\left\{x\mid A(x)\right\}$ als virtuelle Klasse ein, so dass Klassen zwar noch nicht vollwertige Terme sind, aber Teilterme in definierten Kontexten.

Von Quine ausgehend entwickelte Arnold Oberschelp ab 1974 die erste voll funktionsfähige moderne axiomatische Klassenlogik. Sie ist eine widerspruchsfreie Erweiterung der Prädikatenlogik und erlaubt (wie Peano) den uneingeschränkten Gebrauch von Klassentermen. Sie benutzt auch alle Klassen, die in der naiven Mengenlehre Antinomien erzeugen, als Terme. Das ist möglich, weil sie keine Existenzaxiome für Klassen annimmt. Sie setzt insbesondere keine Mengenaxiome voraus, kann aber solche zusätzlich aufnehmen und syntaktisch korrekt in der traditionell-einfachen Darstellung mit Klassentermen formulieren; zum Beispiel entwickelt die Oberschelp-Mengenlehre die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre im Rahmen der allgemeinen Klassenlogik.

In der Klassenlogik bezeichnen die Terme ${\mathcal {M}}$ Klassen und diese können - wie beispielsweise die Russellsche Klasse ${\mathcal {R}}:=\{x\mid x\notin x\}$ - außerhalb des Variablenbereichs ${\mathcal {V}}$ liegen. Die Substitution eines Terms ${\mathcal {M}}$ für eine Variable ist daher nur dann zulässig, wenn ${\mathcal {M}}\in {\mathcal {V}}$ gilt. Weiterhin gelten die folgenden Prinzipien:

(1) Abstraktionsprinzip:

$\forall y\colon (y\in \{x\mid A(x)\}\iff A(y))$

(2) Extensionalitätsprinzip:

$\forall x:(x\in {\mathcal {M}}\Leftrightarrow x\in {\mathcal {N}})\Longrightarrow {\mathcal {M}}={\mathcal {N}}$

(3) Elemente sind Individuen:

${\mathcal {M}}\in {\mathcal {N}}\Longrightarrow {\mathcal {M}}\in {\mathcal {V}}$

Aus (2) folgt, dass alle Objekte Klassen sind, denn es gilt ja mit (1) und $A(x):=x\in {\mathcal {M}}$:

$\forall y:(y\in {\mathcal {M}}\Leftrightarrow y\in \{x\mid x\in {\mathcal {M}}\})$,

also ${\mathcal {M}}=\{x\mid x\in {\mathcal {M}}\}$

Soll die Klassenlogik weitere Objekte enthalten, muss (2) auf Klassen beschränkt werden:

(2') $Cls({\mathcal {M}})\land Cls({\mathcal {N}})\land \forall x:(x\in {\mathcal {M}}\Leftrightarrow x\in {\mathcal {N}})\Longrightarrow {\mathcal {M}}={\mathcal {N}}$

Dabei steht $Cls({\mathcal {K}}):=\{x\mid x\in {\mathcal {M}}\}$.

In der Klassenlogik ist von keiner Klasse beweisbar, dass sie eine Menge ist. Das zeigt ein einfaches Modell:

Minimales Modell für die Klassenlogik

Der Variablenbereich ${\mathcal {V}}$ hat nur ein Element $a$. Es gibt 2 Klassen: die Leere Klasse $\varnothing$ und die Allklasse ${\mathcal {V}}$. Ist $\varnothing =a$, ist ${\mathcal {V}}=b={\mathcal {R}}$. Gilt $\varnothing =b$, ist ${\mathcal {V}}=a\in a$ und ${\mathcal {R}}=\varnothing$.

Effizienz

„Eine klassenlogische Sprache entspricht der tatsächlich verwendeten mathematischen Sprache weit besser als eine prädikatenlogische Sprache.“

– Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre, 1994, Vorwort Seite 5

Literatur (chronologisch)

• Giuseppe Peano: Arithmetices principia. Nova methodo exposita. Corso, Torino u. a. 1889 (Auch in: Giuseppe Peano: Opere scelte. Band 2. Cremonese, Rom 1958, S. 20–55).
• G. Frege: Grundgesetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. Band 1. Pohle, Jena 1893.
• Willard Van Orman Quine: New Foundations for Mathematical Logic. In: American Mathematical Monthly 44 (1937), S. 70–80.
• Willard Van Orman Quine: Set Theory and its Logic. Harvard University Press, Cambridge MA 1963 (Deutsche Übersetzung: Mengenlehre und ihre Logik (= Logik und Grundlagen der Mathematik. Bd. 10). Vieweg, Braunschweig 1973, ISBN 3-548-03532-9).
• Arnold Oberschelp: Elementare Logik und Mengenlehre (= BI-Hochschultaschenbücher 407–408). 2 Bände. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1974–1978, ISBN 3-411-00407-X (Bd. 1), ISBN 3-411-00408-8 (Bd. 2).
• Albert Menne Grundriß der formalen Logik (= Uni-Taschenbücher 59 UTB für Wissenschaft). Schöningh, Paderborn 1983, ISBN 3-506-99153-1 (Ab 5. Auflage umbenannt von Grundriß der Logistik – Das Buch zeigt neben anderen Kalkülen auch eine mögliche Kalkülisierung der Klassenlogik, aufbauend auf dem Aussagen- und Prädikatenkalkül und führt anhand dieser grundlegende Begriffe des formalen Systems der Klassenlogik ein. Es behandelt auch kurz Paradoxien und die Typentheorie).
• Jürgen-Michael Glubrecht, Arnold Oberschelp, Günter Todt: Klassenlogik. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1983, ISBN 3-411-01634-5.
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.