Klassenzahl

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Sei ein algebraischer Zahlkörper. Dann ist seine Klassenzahl die Ordnung der (stets endlichen) Idealklassengruppe von .

Eine Primzahl heißt regulär, wenn , wobei eine -te Einheitswurzel ist.

Zahlentheoretische Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Möchte man eine Gleichung über einem Zahlkörper lösen, so ist eine mögliche Strategie, die Gleichung über der Idealgruppe und der Idealklassengruppe zu lösen. Ist 1 die einzige Lösung über der Idealklassengruppe, so ist jedes Ideal mit ein Hauptideal: . Diese Zahl löst die ursprüngliche Gleichung modulo Einheiten.

Um die Gleichung über zu lösen, genügt es, die Struktur von als abelsche Gruppe zu kennen. In den meisten Fällen genügt sogar die Kenntnis der Primfaktorzerlegung von . (z. B. für , oder: falls .)

Aus diesem Grund ist die Bestimmung der Idealklassenzahl eine der zentralen Aufgaben der Zahlentheorie.

Beispiel (Spezialfall von Fermats letztem Satz)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine ungerade reguläre Primzahl. Dann hat die Gleichung keine ganzzahligen Lösungen.

Beweisskizze: Die Gleichung lässt sich umschreiben zu . Geht man jetzt zu den Idealen von über, erhält man, da die Ideale auf der linken Seite teilerfremd sind, die Gleichungen . Da die Abbildung auf der Idealklassengruppe von injektiv ist, erhalten wird daraus die Gleichungen mit einer Einheit , die man zum Widerspruch führen kann.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dabei ist die Anzahl der Einheitswurzeln in , die Diskriminante der Erweiterung und der Regulator von .
Die Klassenzahlformel eignet sich zur praktischen Berechnung der Klassenzahl.
  • Sei eine -Erweiterung, d.h. und . Sei der -Anteil der Klassenzahl . Dann gibt es von unabhängige natürliche Zahlen , , , so dass für hinreichend großes . (Siehe: Iwasawa-Theorie)
  • Vermutung von Vandiver (nicht allgemein bewiesen, für verifiziert):
Sei . Dann ist kein Teiler von .
  • Für gilt: für ein
  • Sei . Dann gilt:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]