Klassisches Runge-Kutta-Verfahren

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Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta) ist ein spezielles explizites 4-stufiges Runge-Kutta-Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen (Gewöhnliche Differentialgleichungen). Eine abkürzende Bezeichnung dieses Verfahrens lautet RK4. Runge hat als erster (1895) ein mehrstufiges Verfahren angegeben und Kutta die allgemeine Form expliziter s-stufiger Verfahren.

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren verwendet – wie die weitaus meisten numerischen Lösungsverfahren für Differentialgleichungen – den Ansatz, Ableitungen (Differentialquotienten) durch Differenzenquotienten zu approximieren. Die dabei bei nichtlinearen Funktionen notwendigerweise auftretenden Fehler (es werden sämtliche höheren Glieder der Taylor-Entwicklung vernachlässigt) können durch geeignete Kombinationen verschiedener Differenzquotienten reduziert werden. Das klassische Runge-Kutta-Verfahren ist eine solche Kombination, die Diskretisierungsfehler bis zur dritten Ableitung kompensiert.

Details[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei

ein Anfangsproblem 1. Ordnung.

Mit der Schrittweite besitzt das klassische Runge-Kutta-Verfahren zur Berechnung der Näherung die Verfahrensfunktion

mit

Die Rekursionsgleichung zur Berechnung der Näherung lautet dann

Das Verfahren benötigt in jedem Schritt der Rekursion vier Auswertungen der Funktion . Für mindestens viermal stetig differenzierbares zeigt eine Taylor-Entwicklung nach der Schrittweite , dass es sich bei dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren um ein Verfahren mit Konsistenzordnung 4 handelt.

Die charakteristischen Koeffizienten des Verfahrens können in einem Butcher-Tableau (siehe Artikel zu allgemeinen Runge-Kutta-Verfahren) zusammengefasst werden zu:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ernst Hairer, Nørsett, Syvert P., Gerhard Wanner: Solving Ordinary Differential Equations. Band 1: Nonstiff Problems. 2. revised edition. Springer Verlag, Berlin u. a. 1993, ISBN 3-540-56670-8 (Springer series in computational mathematics 8), (Auch Nachdruck: ebenda 2008, ISBN 978-3-642-05163-0).
  • Peter Deuflhard, Folkmar Bornemann: Numerische Mathematik. Band 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. vollständige überarbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017181-3.