Kohärente Garbe

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In den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und komplexen Analysis sind kohärente Garben das Analogon endlich erzeugter Moduln über noetherschen Ringen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein geringter Raum, d.h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe von Ringen. Dann heißt eine -Modulgarbe kohärent, wenn

  1. endlich erzeugt ist, d.h. jeder Punkt von hat eine offene Umgebung , auf der eine Surjektion existiert, und
  2. für jede offene Teilmenge von und jeden Morphismus ist der Kern endlich erzeugt

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

eine kurze exakte Folge von Modulgarben, und sind zwei der drei Garben kohärent, so ist es auch die dritte.
  • Der Träger einer kohärenten Garbe ist abgeschlossen. (Dies gilt allgemeiner für beliebige endlich erzeugte Modulgarben.)

Kohärente Garben in der algebraischen Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kohärente Garben in der komplexen Analysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Kohärenzsatz von Oka: Im Unterschied zur algebraischen Geometrie ist die Tatsache, dass selbst kohärent ist, nicht trivial.
  • Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen holomorphen Abbildungen sind kohärent.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]