Kohomologie

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Kohomologie ist ein mathematisches Konzept, das in vielen Teilbereichen zum Einsatz kommt, ursprünglich in der algebraischen Topologie. Das Wort Kohomologie wird dabei in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet: Einerseits für die Grundkonstruktion der Kohomologie eines beliebigen Kokettenkomplexes, andererseits für die Anwendung dieser Grundkonstruktion auf konkrete Kokettenkomplexe, die man z.B. aus einer Mannigfaltigkeit (De-Rham-Kohomologie), einem topologischen Raum (singuläre Kohomologie), einem Simplizialkomplex (simpliziale Kohomologie) oder einer Gruppe (Gruppenkohomologie) erhält. Ein allgemeines Konstruktionsverfahren für verallgemeinerte Kohomologietheorien benutzt sogenannte Spektren.

Kohomologie eines Kokettenkomplexes[Bearbeiten]

Grundkonstruktion[Bearbeiten]

Sei (C^\bullet,d^\bullet) ein Kokettenkomplex. Das bedeutet:

  1. für jedes k\in\Z ist eine abelsche Gruppe C^k gegeben (allgemein: ein Objekt einer abelschen Kategorie)
  2. für jedes k\in\Z ist ein Gruppenhomomorphismus d^k:C^k\to C^{k+1} gegeben (allgemein: ein Morphismus), genannt Differential oder Korandoperator
  3. für jedes k\in\Z gilt d^k\circ d^{k-1}=0 als Abbildung C^{k-1}\to C^{k+1}

Daraus kann man die folgenden Gruppen konstruieren:

  • Z^k=\ker(d^k). Elemente von Z^k heißen k-Kozykeln.
  • B^k=\text{im}(d^{k-1}). Elemente von B^k heißen k-Koränder. Wegen Bedingung 3. ist B^k\subseteq Z^k, jeder Korand ist also ein Kozykel. Zwei Kozykel heißen kohomolog, wenn ihre Differenz ein Korand ist. Kohomolog zu sein, ist eine Äquivalenzrelation.
  • H^k(C^\bullet,d^\bullet)=Z^k/B^k, genannt die k-te Kohomologiegruppe von (C^\bullet,d^\bullet). Ihre Elemente sind Äquivalenzklassen von Kozykeln für die Äquivalenzrelation „kohomolog“. Genau dann gilt H^k(C^\bullet,d^\bullet)=0, wenn (C^\bullet,d^\bullet) an der Stelle k exakt ist. Die Kohomologiegruppe ist also ein Maß für Nichtexaktheit.

An dieser Stelle sind Kohomologie und Homologie noch nahezu synonym: Für einen Kokettenkomplex (C^\bullet,d^\bullet) ist (\tilde C_\bullet,\tilde d_\bullet) mit \tilde C_k=C^{-k}, \tilde d_k=d^{-k} ein Kettenkomplex, und H^k(C^\bullet,d^\bullet)=H_{-k}(\tilde C_\bullet,\tilde d_\bullet).

Sind (C_1^\bullet,d_1^\bullet) und (C_2^\bullet,d_2^\bullet) zwei Kokettenkomplexe und f^\bullet:C_1^\bullet\to C_2^\bullet eine Kettenabbildung, d.h. gilt f^{k+1}\circ d_1^k=d_2^k\circ f^k für alle k, erhält man funktorielle Homomorphismen f_*^k:H^k(C_1^\bullet,d_1^\bullet)\to H^k(C_2^\bullet,d_2^\bullet). Sind zwei Kettenabbildungen f^\bullet,g^\bullet:C_1^\bullet\to C_2^\bullet homotop, ist f_*=g_*.

Die lange exakte Sequenz[Bearbeiten]

Sei eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen gegeben:

0\to C_1^\bullet\stackrel{f^\bullet}\longrightarrow C_2^\bullet\stackrel{g^\bullet}\longrightarrow C_3^\bullet\to 0

(die d_i^\bullet seien der Übersichtlichkeit halber weggelassen). Das bedeutet: f^\bullet und g^\bullet sind Kettenabbildungen, und für jedes k ist

0\to C_1^k\stackrel{f^k}\longrightarrow C_2^k\stackrel{g^k}\longrightarrow C_3^k\to 0

exakt. Dann gibt es so genannte Verbindungshomomorphismen \delta^k:H^k(C_3^\bullet)\to H^{k+1}(C_1^\bullet), so dass die Sequenz

\dots\stackrel{\delta^{k-1}}\longrightarrow H^k(C_1^\bullet) \stackrel{f_*^k}\longrightarrow H^k(C_2^\bullet) \stackrel{g_*^k}\longrightarrow H^k(C_3^\bullet) \stackrel{\delta^k}\longrightarrow H^{k+1}(C_1^\bullet)\stackrel{f_*^{k+1}}\longrightarrow H^{k+1}(C_2^\bullet) \stackrel{g_*^{k+1}}\longrightarrow H^{k+1}(C_3^\bullet) \stackrel{\delta^{k+1}}\longrightarrow\dots

exakt ist.

\delta^k kann so konstruiert werden: Sei a\in Z_3^k (Kozykel in (C_3^\bullet,d_3^\bullet)). Weil g^k surjektiv ist, besitzt a ein Urbild b\in C_2^k. Es ist g^{k+1} d_2^k b = d_3^k g^k b = d_3^k a = 0, also ist  d_2^k b = f^{k+1} c für ein c\in C_1^{k+1}. Nun ist f^{k+2} d_1^{k+1} c = d_2^{k+1} f^{k+1} c = d_2^{k+1} d_2^k b = 0, aber weil f^{k+2} injektiv ist, folgt d_1^{k+1} c = 0, also ist c ein (k+1)-Kozykel, und man kann \delta^k [a] = [c] setzen. (Zu einem vollständigen Beweis fehlt noch der Nachweis der Wohldefiniertheit, d.h. dass c ein Korand ist, wenn a ein Korand ist.) Argumente dieses Typs heißen Diagrammjagd.

Das Schlangenlemma ist ein Spezialfall dieser Konstruktion.

Derivierte Kategorien[Bearbeiten]

In vielen Anwendungen ist kein eindeutig bestimmter Kokettenkomplex vorgegeben, dessen Kohomologie man bilden möchte, sondern man muss oder zumindest kann Wahlen treffen, die sich aber auf das Endergebnis, die Kohomologie, nicht auswirken. Die derivierte Kategorie ist eine Modifikation der Kategorie der Kokettenkomplexe, in der diese verschiedenen Wahlen bereits isomorph sind, so dass der letzte Schritt, das Bilden der Kohomologie, nicht mehr nötig ist, um Eindeutigkeit zu erreichen.

Kohomologietheorien[Bearbeiten]

Allgemeines[Bearbeiten]

Eine typische Kohomologietheorie hat die Form von Gruppen H^k(X,A) für k\ge 0, wobei X ein Raum und A im einfachsten Fall eine abelsche Gruppe ist. Weitere häufige Eigenschaften sind:

  • H^k(X,A) ist kontravariant in X und kovariant in A
  • Es gibt eine lange exakte Kohomologiesequenz.
  • Es gibt Produkte H^p(X,A)\times H^q(X,B)\to H^{p+q}(X,A\otimes B), so dass \textstyle \bigoplus_{k\ge 0}H^k(X,A) zu einem graduierten Ring wird, wenn A selbst ein Ring ist.

Zwar hängen viele der Kohomologietheorien miteinander zusammen und liefern in Fällen, in denen mehrere Theorien anwendbar sind, auch häufig ähnliche Resultate, aber es gibt keine allumfassende Definition.

Es folgen noch einige Beispiele.

De-Rham-Kohomologie[Bearbeiten]

Hauptartikel: De-Rham-Kohomologie

Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit. Die De-Rham-Kohomologie H^\bullet_\text{dR}(X) von X ist die Kohomologie des Komplexes

0\to C^\infty(X) \stackrel{\text{d}}\longrightarrow \Omega^1(X) \stackrel{\text{d}}\longrightarrow \Omega^2(X) \stackrel{\text{d}}\longrightarrow \dots

(nach links ergänzt durch Nullen), wobei \Omega^k(X) die globalen Differentialformen vom Grad k und \text{d} die Cartan-Ableitung sind.

Ist f:X\to Y eine glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten, vertauscht das Zurückziehen f^*:\Omega^k(Y)\to\Omega^k(X) von Differentialformen mit der Cartan-Ableitung, also definiert f^* eine Kettenabbildung, die Homomorphismen H^k_\text{dR}(Y)\to H^k_\text{dR}(X) induziert.

Das Dachprodukt von Differentialformen induziert eine Produktstruktur auf H^*_\text{dR}(X).

Vektorbündel mit flachem Zusammenhang sind eine geeignete Koeffizientenkategorie für die De-Rham-Kohomologie.

Singuläre Kohomologie[Bearbeiten]

Hauptartikel: Singuläre Kohomologie

Sei X ein topologischer Raum und A eine abelsche Gruppe. Sei weiter \Delta^k=\{x\in\R^{k+1}: x_0+\dots+x_k=1,\ \text{alle}\ x_i\ge 0\} das Standard-k-Simplex. Die Seitenflächen eines Simplex sind selbst wieder Simplizes, entsprechend den Einbettungen \partial_k^i \colon \Delta^{k-1}\to\Delta^k, x\mapsto(x_0,\dots,x_{i-1},0,x_i,\dots,x_{k-1}) für i=0,\dots,k. Sei nun X_k die Menge der stetigen Abbildungen \Delta^k\to X in einen topologischen Raum X. Durch Verkettung mit \partial_k^i bekommt man Abbildungen X_k\to X_{k-1}. Im nächsten Schritt sei C_k die freie abelsche Gruppe auf der Menge X_k, und \partial_k \colon C_k\to C_{k-1} definiert durch \textstyle \partial_k(\sigma)=\sum_{i=0}^k (-1)^i (\sigma\circ\partial_k^i) für \sigma:\Delta^k\to X. Es ist \partial_{k-1}\partial_k=0, also ist (C_\bullet,\partial_\bullet) ein Kettenkomplex, der singuläre Kettenkomplex von X. Setzt man schließlich C^k=\text{Hom}(C_k,A) und d^k\colon C^k\to C^{k+1}, d^ks=s\circ\partial_k, erhält man den singulären Kokettenkomplex von X, dessen Kohomologie die singuläre Kohomologie H^k(X,A) ist.

A wird als der Koeffizientenring der Kohomologietheorie bezeichnet.

Als Integrale Kohomologie wird die Kohomologie mit Koeffizienten A=\Z bezeichnet.

Für eine stetige Abbildung X\to Y erhält man eine Kettenabbildung C_\bullet(X)\to C_\bullet(Y), daraus eine Kettenabbildung C^\bullet(Y,A)\to C^\bullet(X,A) und somit einen funktoriellen Homomorphismus H^k(Y,A)\to H^k(X,A).

Für einen Teilraum Y\subseteq X ist C_\bullet(Y) ein Unterkomplex von C_\bullet(X), und mit C_\bullet(X,Y):=C_\bullet(X)/C_\bullet(Y) erhält man eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen, die durch Anwendung von \text{Hom}(?,A) eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen ergibt:

0\to C^\bullet(X,Y,A)\to C^\bullet(X,A)\to C^\bullet(Y,A)\to0

Daraus erhält man nach der allgemeinen Konstruktion eine lange exakte Kohomologiesequenz:

\dots\to H^k(X,Y,A)\to H^k(X,A)\to H^k(Y,A)\to H^{k+1}(X,Y,A)\to H^{k+1}(X,A)\to H^{k+1}(Y,A)\to\dots

Für den Vergleich der Kohomologiegruppen H^k(X,A) und H^k(X,B) für verschiedene Koeffizientengruppen A,B kann man das so genannte universelle Koeffiziententheorem benutzen.

Samuel Eilenberg und Norman Steenrod haben eine Liste von einfachen Eigenschaften angegeben, die eine Kohomologietheorie für topologische Räume besitzen sollte, die Eilenberg-Steenrod-Axiome. Es gibt im Wesentlichen nur eine Kohomologietheorie, die die Axiome erfüllt, und singuläre Kohomologie ist eine solche.

Gruppenkohomologie[Bearbeiten]

Hauptartikel: Gruppenkohomologie

Die Gruppenkohomologie H^k(G,A) hat zwei Argumente: eine Gruppe G und einen G-Modul A. Im Koeffizientenargument A ist die Kohomologie kovariant, und es gibt eine lange exakte Kohomologiesequenz. Im Argument G ist die Kohomologie in einem geeigneten Sinn kontravariant, z.B. wenn man als Koeffizienten eine feste abelsche Gruppe mit trivialer Operation wählt. Der Zusammenhang zwischen der Kohomologie einer Gruppe und einer Faktorgruppe bzw. eines Normalteilers wird durch die Hochschild-Serre-Spektralsequenz beschrieben.

Kohomologiering[Bearbeiten]

Die direkte Summe \oplus_{i=0}^\infty H^i(X;R) wird mit dem Cup-Produkt zu einem gradiert kommutativen Ring, dem sogenannten Kohomologiering des Raumes X.

Nichtabelsche Kohomologie[Bearbeiten]

Nicht in das Schema der oben angegebenen Grundkonstruktion passen verschiedene Konstruktionen, die eine Kohomologie H^k(X,G) für nichtabelsche Koeffizienten liefern, aber meistens auf k=0 und k=1 begrenzt sind, z. B. in der Gruppen- oder Garbenkohomologie. Jean Giraud hat eine Interpretation der nichtabelschen Kohomologie für k=2 mit Hilfe von Gerben erarbeitet.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • I. M. Gelfand, Y. Manin: Homological Algebra (= Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Volume 138: Algebra. V). 1st edition, 2nd printing. Springer, Berlin u. a. 1999, ISBN 3-540-65378-3.
  • Jean Giraud: Cohomologie non abélienne (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete 179). Springer, Berlin u. a. 1971, ISBN 3-540-05307-7.
  • Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2002, ISBN 0-521-79540-0.
  • Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2003, ISBN 0-521-55987-1.