Kommakategorie

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine Kommakategorie ist eine Konstruktion in der mathematischen Kategorientheorie, die 1963 von F. W. Lawvere eingeführt wurde. Der Name ergibt sich aus der ursprünglich von Lawvere verwendeten Notation.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die allgemeinste Konstruktion der Kommakategorie betrachtet man zwei Funktoren. Typischerweise ist einer von beiden auf der terminalen Kategorie definiert: viele kategorientheoretische Darstellungen betrachten nur diesen Fall.

Seien , und Kategorien, T und S Funktoren . Die Kommakategorie ist folgendermaßen definiert:

  • Die Objekte sind Tripel , wobei Objekt in , Objekt in und Pfeil in ist.
  • Die Pfeile von nach sind Paare , wobei und jeweils Pfeile in und sind, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
Die Verkettung von Pfeilen ist durch definiert.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kategorie der Objekte unter A[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der erste Spezialfall tritt ein, wenn terminal und S identischer Funktor ist (also ). (Dann ist für ein festes Objekt in und den einzigen Pfeil in ). Die diesbezügliche Kommakategorie heißt Kategorie der Objekte unter , geschrieben . Die Objekte können kurz notiert werden, da die Festlegung von die Angabe von überflüssig macht; notieren wir kurz als - oft wird auch genannt, um es als Injektion zu kennzeichnen. Ähnlich können wir die Darstellung eines Pfeils auf reduzieren, da stets als gewählt wird. Das folgende Diagramm kommutiert:

CommaCategory-02.png

ist ein Anfangsobjekt von . Ist bereits ein Anfangsobjekt von , so ist isomorph zu .

Beispiele:

  • Die Kategorie der unitären -Algebren für einen Körper ist isomorph zur Kategorie der unitären Ringe unter .

Kategorie der Objekte über A[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog können wir identisch und terminal wählen. Wir erhalten dann die Kategorie der Objekte über (wobei A das durch S ausgewählte Objekt von ist). Diese Kommakategorie notieren wir als ; in der algebraischen Geometrie ist die Bezeichnung üblich. Sie ist das duale Konzept zu Objekten unter . Die Objekte sind Paare mit ; dabei steht für Projektion auf . Ein Pfeil in der Kommakategorie mit Quelle und Ziel wird durch eine Abbildung gegeben, die das folgende Diagramm kommutieren lässt:

CommaCategory-01.png

ist ein Endobjekt von . Ist bereits ein Endobjekt von , so ist isomorph zu .