Kommutatorgruppe

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In der Mathematik bezeichnet die Kommutatorgruppe (oder Kommutator-Untergruppe) zu einer Gruppe diejenige Untergruppe, die von den Kommutatoren in der Gruppe erzeugt wird:

Die Kommutatorgruppe wird auch mit und mit (oder ) bezeichnet und abgeleitete Gruppe (von ) genannt.

Im Allgemeinen ist die Menge aller Kommutatoren keine Gruppe, die Phrase „erzeugt von“ in der Definition (gleichbedeutend mit den spitzen Klammern in der Formel) kann also nicht weggelassen werden.[1][2][3]

Die Ordnung der Kommutatorgruppe ist ein Maß, wie weit eine Gruppe von der Kommutativität entfernt ist. Eine Gruppe ist genau dann kommutativ (abelsch), wenn ihre Kommutatorgruppe nur aus dem neutralen Element, genannt , besteht. In diesem Falle gilt nämlich für alle . Im Gegensatz dazu heißen Gruppen, bei denen die Kommutatorgruppe die ganze Gruppe umfasst, perfekte Gruppen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gelten die Gleichungen

  • .
  • .
  • mit als der Konjugierten von unter .

Für jeden Homomorphismus ist .

Da die Menge der Kommutatoren unter jedem Automorphismus von auf sich abgebildet wird, ist die Kommutatorgruppe eine charakteristische Untergruppe von und damit auch ein Normalteiler der Gruppe.

Die Faktorgruppe ist stets abelsch, sie wird als Abelisierung der Gruppe bezeichnet. Für jeden Normalteiler gilt:

ist genau dann abelsch, wenn

Das heißt, die Kommutatorgruppe ist der kleinste Normalteiler, für den die Faktorgruppe abelsch ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei die symmetrische Gruppe und die alternierende Gruppe. Dann gilt:

  • für
  • für
  • , wobei die Kleinsche Vierergruppe bezeichnet.

Höhere Kommutatorgruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Bilden der Kommutatorgruppe lässt sich iterieren, man bezeichnet die -te Kommutatorgruppe (oder auch die -te abgeleitete Gruppe) mit . Die rekursive Definition lautet:

Eine Gruppe heißt auflösbar genau dann, wenn eine absteigende Kette von Subnormalteilern

(Subnormalreihe)

existiert, so dass die Faktorgruppen abelsch sind. Die Konstruktion der iterierten Kommutatorgruppe liefert ein Kriterium für die Auflösbarkeit von :

ist genau dann auflösbar, wenn es ein gibt mit

Entweder ist die bei fortgesetzter Kommutatorbildung entstehende absteigende Reihe von Untergruppen oder eine Verfeinerung dieser Reihe äquivalent zu jeder solchen Subnormalreihe oder einer Verfeinerung derselben.

Der Zusammenhang zwischen den beiden äquivalenten Definitionen der Auflösbarkeit, über fortgesetzte Kommutatorenbildung einerseits und über eine Subnormalreihe andererseits sowie der Begriff der Subnormalreihe selbst werden ausführlicher im Artikel „Reihe (Gruppentheorie)“ erläutert.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die symmetrische Gruppe bzw. die alternierende Gruppe ist genau dann auflösbar, wenn . Für sieht man das sofort mit obigem Beispiel ein. Für gilt:

, , , da abelsch ist.

Für wird die Kette der iterierten Kommutatorgruppen stationär bei , also ist dann weder noch auflösbar.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Dr. Ludwig Baumgartner Gruppentheorie Sammlung Göschen Band 837/837a S. 99
  2. [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S000187088280008X Robert M. Guralnick Commutators and commutator subgroups ADVANCES IN MATHEMATICS 45, 319--330 (1982)
  3. In der über freien Gruppe ist kein Kommutator.
    Angenommen, es gäbe mit

    dann wäre das Wort

    durch geschickte Wahl der Variablen in das leere Wort „überführbar“. Überführungen können hintereinander ausgeführt und auch rückgängig gemacht werden (Anwendungen der Kürzungsregeln sowieso, und das Zurückdrehen einer Einsetzung muss halt eine korrekte Einsetzung ergeben), so dass „überführbar“ eine Äquivalenzrelation ist.
    Nun ist durch die Wahl überführbar in das Wort welches aber nicht in das leere Wort überführt werden kann.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]