Komplanarität

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Komplanarität oder Koplanarität ist ein Begriff aus der Geometrie – einem Teilbereich der Mathematik. Mehrere Punkte heißen komplanar, wenn sie in einer Ebene liegen. Drei Vektoren gelten als komplanar, wenn sie linear abhängig sind. Einer der drei Vektoren lässt sich also als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellen; komplanare Vektoren liegen in derselben Ebene.

Komplanaritätsuntersuchung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Untersuchung der Komplanarität von Vektoren kann eine Komplanaritätsuntersuchung durchgeführt werden. Gegeben seien drei Vektoren . Für die Komplanarität muss die Gleichung mit erfüllbar sein, wobei nicht gleichzeitig 0 sein dürfen. Die Lösung lässt sich mittels eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und den Unbekannten ermitteln.

Entstammen die Vektoren einem dreidimensionalen Vektorraum, so lässt sich diese Prüfung mit dem Spatprodukt durchführen. Die Vektoren sind komplanar wenn .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Drei Vektoren und sollen auf Komplanarität untersucht werden.

Ansatz:

mit

Aus dem Ansatz folgt das lineare Gleichungssystem:


Einsetzen des Ergebnisses für r in Gleichung (I) ergibt:


Gleichung (III) ist für und erfüllt:


ist durch eine Linearkombination von und darstellbar:

und es gilt:

Somit sind , und komplanar.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Komplanaritätsuntersuchungen werden häufig bei der Ermittlung der Lagebeziehungen zwischen Geraden oder Geraden und Ebenen durchgeführt.