Komplexe Wechselstromrechnung

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Die komplexe Wechselstromrechnung wird in der Elektrotechnik angewendet, um Verhältnisse von elektrischer Stromstärke und elektrischer Spannung in einem linearen zeitinvarianten System bei sinusförmiger Wechselspannung und sinusförmigem Wechselstrom zu bestimmen. Sie geht auf Arbeiten aus 1893 von Arthur Edwin Kennelly und Charles P. Steinmetz zurück.[1] Eine mathematisch exakte Darstellung der dabei angewandten Lösungsmethoden mit komplexen Spannungen und Strömen wurde 1937 von Wilhelm Quade (1898–1975) gegeben.[2]

Die komplexe Wechselstromrechnung ist unter bestimmten Einschränkungen eine vorteilhafte Alternative zur Rechnung mit Differentialgleichungen, da damit Zeitableitungen und Integrationen nach der Zeit durch eine Multiplikation mit einem komplexen Faktor ersetzt werden können. Darüber hinausgehend bestehen verschiedene Erweiterungen wie die erweiterte symbolische Methode der Wechselstromtechnik, welche eine Verallgemeinerung der komplexen Wechselstromrechnung auf exponentiell anschwellende und abklingende sinusförmige Signale erlaubt, und Verfahren wie das AC-Kalkül, welches auf die Einführung komplexwertiger Zeitfunktionen verzichtet.[3]

Allgemeine Einführung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bestimmung des Verhältnisses von Stromstärke zu Spannung in einem elektrischen Stromkreis ist eine der Grundaufgaben der Elektrotechnik.

Wird eine zeitlich konstante Spannung vorgegeben und die Stromstärke bestimmt, oder wird die Stromstärke vorgegeben und die Spannung bestimmt, so wird das Verhältnis als elektrischer Widerstand oder das Verhältnis als elektrischer Leitwert bezeichnet.

In der Wechselstromtechnik werden zeitlich veränderliche Spannungen und Ströme behandelt, die in diesem Fall einem sinusförmigen Verlauf folgen. Um diese Veränderlichkeit gegenüber den zeitlich fixen Größen auszudrücken, werden Augenblickswerte, die sich zeitlich ändern, mit Kleinbuchstaben bezeichnet, Spannungen als kleines  und Stromstärken als kleines . Zur ausdrücklichen Kennzeichnung der Zeitabhängigkeit kann dem Formelzeichen der Buchstabe in runden Klammern beigefügt werden,[4][5], z. B. .

Als passive lineare Elemente des Wechselstromkreises treten ohmsche Widerstände, Induktivitäten oder Kapazitäten auf. Für diese Elemente gilt:

  • Ohmscher Widerstand : die Stromstärke ist der Spannung proportional:
  • Induktivität : die Stromstärkeänderung ist der Spannung proportional:
      oder gleichwertig  
  • Kapazität : die Spannungsänderung ist der Stromstärke proportional:
      oder gleichwertig  

Ist eine der vorgegebenen Größen – Spannung oder Stromstärke (umgangssprachlich einfach Strom) – konstant, so ist die resultierende Größe nur bei rein ohmschen Stromkreisen ebenfalls konstant. Die angewendeten Verfahren der Berechnung sind dann, und nur dann, die der Gleichstromrechnung. Eine ideale Induktivität würde hier einen Kurzschluss, eine ideale Kapazität eine Unterbrechung des Stromzweiges darstellen. Beim Ein- oder Ausschalten liegt zeitweise kein periodischer Vorgang vor, denn der Übergang unterliegt einem Einschwingvorgang.

Ist die vorgegebene Größe nicht konstant, oder ist der Stromkreis nicht rein ohmsch, so ist die Strom/Spannungs-Beziehung komplizierter. Kapazitäten und Induktivitäten müssen dann über Differentialgleichungen in die Berechnung einfließen. Jedoch kann die Berechnung in Sonderfällen einfacher werden.

So ein Sonderfall liegt vor, wenn die vorgegebene Größe einen sinusförmigen periodischen Verlauf hat, z. B. ein sinusförmiger Strom (siehe Wechselstrom)

oder eine sinusförmige Spannung

Dabei ist und auch der Maximalwert, auch Amplitude genannt, ist die Kreisfrequenz, und auch ist der Nullphasenwinkel der Wechselgröße.[6] Die Differenz wird Phasenverschiebungswinkel genannt.

Dann hat die sich einstellende Größe einen ebenfalls sinusförmigen periodischen Verlauf gleicher Frequenz, der sich allerdings in der Phasenverschiebung und dem Amplitudenverhältnis mit der Frequenz (alternativ Periodendauer) verändern kann.

Die mathematische Behandlung diesbezüglicher Rechnungen erfolgt vorteilhaft unter Verwendung komplexer Größen, da diese die Lösung trigonometrischer Aufgaben wesentlich erleichtern.

Zeigerdiagramm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zeigerdiagramm einer Spannung in der komplexen Ebene

In einem Zeigerdiagramm kann eine harmonische Schwingung (Sinusschwingung) durch einen mit der Kreisfrequenz um den Nullpunkt rotierenden Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt werden, dessen Länge die Amplitude repräsentiert. Damit wird ein Übergang vollzogen von einer Funktion der Zeit auf eine Funktion des Winkels, der in diesem Zusammenhang Phasenwinkel genannt wird. Dieser steigt gemäß an. Passend zur Zählrichtung des Winkels dreht der Zeiger entgegen dem Uhrzeiger. Er wird auch Drehzeiger genannt.[7] Der zeitliche Verlauf der Schwingung kann durch Projektion der rotierenden Zeigerspitze auf die imaginäre Achse (Sinusfunktion) oder reelle Achse (Kosinusfunktion) gewonnen werden.

Für die imaginäre Einheit wird in der Elektrotechnik der Buchstabe verwendet (mit ),[8] um Verwechslungen mit dem Buchstaben , der für den (zeitabhängigen) Strom verwendet wird, zu vermeiden. Formelzeichen komplexer Größen werden durch einen Unterstrich gekennzeichnet.[7][9]

Ein rotierender Zeiger für eine Spannung stellt diese als komplexe Spannung dar:

Der letzte Ausdruck stellt die sogenannte Versorschreibweise dar. Die komplexe Größe wird dabei wie im vorletzten Ausdruck in Polarkoordinaten angegeben.

Beispiel: Die Formel spricht sich: ist gleich Versor , wobei der Betrag und das Argument der komplexen Größe sind.

Analog gilt für die komplexe Stromstärke:

Die reellen Größen können als Realteil der komplexen Größen dargestellt werden:

Wahlweise können auch die Imaginärteile verwendet werden. Sie sagen das Gleiche über den realen Sachverhalt aus und unterscheiden sich nur in der Verwendung des Kosinus oder Sinus (Phasenverschiebung um 90°).

Die komplexe Spannung ergibt sich aus zwei Teilen: Einerseits aus der Amplitude der Spannung (dargestellt durch ) und andererseits aus dem Phasenwinkel. Dieser wiederum setzt sich aus einem konstanten Teil, dem Nullphasenwinkel , und einem variablen Teil zusammen. Entsprechendes gilt für die komplexe Stromstärke mit und .

Häufig werden die Amplituden und die Nullphasenwinkel zu den komplexen Effektivwerten

und

zusammengefasst, so dass die Momentanwerte als

und

darstellbar sind.

Ohmsches Gesetz im komplexen Bereich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeiner Ansatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zeigerdiagramm eines Widerstands

Eine komplexe Gleichung muss immer in zwei voneinander unabhängigen Aussagen erfüllt sein. Wahlweise werden die Aussagen getrennt durch reelle Gleichungen für

  • Zeigerlänge und Winkel   oder
  • Realteil und Imaginärteil.

Das Verhältnis der komplexen Spannung zur komplexen Stromstärke ist unter den genannten Voraussetzungen eine komplexe Konstante. Diese Aussage ist das ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik. Die Konstante wird als komplexer Widerstand oder Impedanz bezeichnet. Auch diese wird in der komplexen Ebene als Zeiger dargestellt, der aber als zeitunabhängige Größe nicht rotiert.

Der allgemeine Ansatz dazu lautet

  • für Zeigerlänge und Winkel
  • oder für Real- und Imaginärteil

Ohmscher Widerstand[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Werden in die oben in der Einführung für den ohmschen Widerstand stehende Gleichung anstelle von und Zeiger eingesetzt, so entsteht

Da eine reelle Größe ist, muss im allgemeinen Ansatz im Blick auf die Winkel

sein. Die Zeiger und haben am ohmschen Widerstand stets gleiche Nullphasenwinkel. Das entspricht der Beobachtung, dass und gleichphasig sind. Der komplexe Widerstand ist dann:

Kondensator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Werden in die oben für die Kapazität stehende Gleichung anstelle von und Zeiger eingesetzt, so entsteht nach Ausführung der Differenziation

Nach Umstellung und mit

ergibt sich

Dann muss im allgemeinen Ansatz im Blick auf die Winkel

sein. Das entspricht der Beobachtung, dass im Falle eines idealen Kondensators gegenüber um −π/2 oder −90° in der Phase verschoben ist. Die Impedanz ist dann

Scheinwiderstand eines Kondensators bei

In Blick auf Real- und Imaginärteil besteht der komplexe Widerstand hier nur aus einem negativen Imaginärteil. Dieser liefert einen negativen Blindwiderstand für den Kondensator

Der komplexe Widerstand eines Kondensators wird also auf der imaginären Achse in negative Richtung aufgetragen. Der Formel ist zu entnehmen, dass der Blindwiderstand des Kondensators umso kleiner wird, je höher die Frequenz gewählt wird.

Spule[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Werden in die oben für die Induktivität stehende Gleichung anstelle von und Zeiger eingesetzt, so entsteht nach Ausführung der Differenziation

Nach Umstellung und mit

ergibt sich

Dann muss im allgemeinen Ansatz im Blick auf die Winkel

sein. Das entspricht der Beobachtung, dass im Falle einer idealen Spule gegenüber um π/2 oder 90° voreilt. Die Impedanz ist dann

Scheinwiderstand einer Spule bei

In Blick auf Real- und Imaginärteil besteht der komplexe Widerstand hier nur aus einem positiven Imaginärteil. Dieser liefert einen positiven Blindwiderstand für die Spule

Der komplexe Widerstand der Spule liegt nun, wie beim Kondensator, auf der imaginären Achse. Allerdings wird er, anders als beim Kondensator, in positiver Richtung aufgetragen. Auch wird der Blindwiderstand der Induktivität mit steigender Frequenz größer, im Gegensatz zum Kondensator. Diese gegensätzlichen Eigenschaften führen in einer Reihenschaltung aus Spule und Kondensator bei einem bestimmten dazu, dass sich die Blindwiderstände zu null addieren, was als Reihenresonanz im Schwingkreis bezeichnet wird.

Rechnung bei mehreren Bauteilen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Regeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Regeln über Parallelschaltung und Reihenschaltung sowie die kirchhoffschen Regeln gelten in der Wechselstromtechnik unverändert weiter, wenn sie auf komplexe Größen angewendet werden. Zuerst wird festgelegt, von welcher Größe zweckmäßigerweise auszugehen ist. Häufig erweist es sich als zweckmäßig, diese Größe in die reelle Achse zu legen.

Sind alle Bauelemente in Reihe geschaltet, so ist es zweckmäßig, den Strom vorzugeben. Für jedes Element, durch das derselbe Strom fließt, können die angelegte Spannung bestimmt und dann alle Spannungen durch Addition der Zeiger zusammengefasst werden. Gleichwertig können erst alle Widerstände komplex addiert und dann mit dem Strom multipliziert werden.

Sind jedoch alle Bauelemente parallel geschaltet, so wird eine Spannung vorgegeben. Für jedes Element können der Strom getrennt berechnet und dann alle komplexen Ströme durch Aneinandersetzung der Zeiger addiert werden. Gleichwertig können erst alle komplexen Leitwerte addiert und dann mit der Spannung multipliziert werden.

Ist die Schaltung eine Mischform, so sollte sie elementar zerlegt und jede Teilschaltung getrennt berechnet werden, bevor alles wieder zusammensetzt wird. Ein Beispiel wird in Resonanztransformator beschrieben.

Zeiger in der komplexen Ebene für eine RC-Reihenschaltung:
oben: Wechselstrom und Spannung,
unten: Wechselstromwiderstände

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

An einer Reihenschaltung eines Widerstands und eines Kondensators liegt eine Wechselspannung mit an.

Sie hat einen Wirkwiderstand

und einen Blindwiderstand

mit der Umrechnung der Maßeinheiten

die sich bei einer Reihenschaltung als komplexe Größen zur Gesamtimpedanz addieren

Der Scheinwiderstand (Betrag der Impedanz) ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras zu

Er ist also das Verhältnis der Beträge von Spannung und Stromstärke. Für den Phasenverschiebungswinkel φ zwischen Spannung und Strom in dieser Schaltung folgt:

Das ermöglicht die Schreibweise in Polarkoordinaten:

Leistung bei komplexer Rechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu einer komplexen Größe wird die zugehörige konjugiert komplexe Größe durch definiert. Der Realteil von ist

Der Augenblickswert der Leistung ist das Produkt der reellen Augenblickswerte von Spannung und Strom.

Der Augenblickswert der Leistung schwingt um die Höhe mit (gegenüber und  ) doppelter Frequenz

Die Klammer umfasst zwei Zeiger,

  • einen zeitunabhängigen, ruhenden und
  • einen mit doppelter Winkelgeschwindigkeit rotierenden.

Der zeitunabhängige Zeiger wird als komplexe Leistung oder komplexe Scheinleistung bezeichnet.[6][7]

Darin sind die in der Wechselstromtechnik üblichen drei Kenngrößen zur Leistung enthalten:

  • die Wirkleistung , die als Gleichwert über definiert wird; der Schwingungsanteil fällt durch die Mittelwertbildung heraus. Es ergibt sich
  • die ebenfalls frei von Schwingungsanteilen (Augenblickswerten) definierte (Verschiebungs-)Blindleistung

Einschränkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Somit kann mit dieser Methode der komplexen Wechselstromrechnung schwierig die Berechnung von Schaltvorgängen, wie das An- und Ausschalten, Pulse oder Pulsfolgen erfolgen. Für die Schaltung muss dafür mittels der komplexen Wechselstromrechnung ein Bode-Diagramm berechnet werden, das eine Komplexe Funktion im Spektralbereich darstellt. Nun wird zu dem zu untersuchenden Signal (z. B. Stufenfunktion beim Einschwingen) eine Fourierreihe entwickelt, also das Signal vom Zeitbereich in den Spektralbereich umgewandelt. Das Signal im Spektralbereich kann nun mittels des Bode-Diagramms in ein Abbild im Spektralbereich umgerechnet werden. Dieses Abbild lässt sich durch inverse Fouriertransformation wieder in ein Signal im Zeitbereich umrechen. Diese Vorgänge können auch mit Hilfe von Differenzialgleichungen beschrieben werden.

Weiterhin müssen auch alle Bauelemente einer Wechselstromschaltung wie Widerstände, Kondensatoren und Spulen lineare Eigenschaften im betrachteten Frequenzbereich zeigen. Dies trifft beispielsweise bei Spulen mit magnetischer Sättigung oder Kondensatoren, deren Dielektrizitätszahl von der elektrischen Feldstärke abhängt, nicht zu. Ferner sind in der Regel die Kennlinien von Halbleiterbauelementen nicht linear. In all diesen Fällen würde bei einer sinusförmigen Spannung ein nicht sinusförmiger Strom entstehen (oder umgekehrt), und die komplexe Wechselstromrechnung kann dann nicht angewendet werden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Karl Küpfmüller, Wolfgang Mathis, Albrecht Reibiger: Theoretische Elektrotechnik. 18. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-78589-7.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Charles P. Steinmetz: Die Anwendung complexer Größen in der Elektrotechnik. Nr. 14.. Elektrotechnische Zeitung (ETZ), 1893.
  2. Wilhelm Quade: Mathematische Begründung der komplexen Wechselstromrechnung. Nr. 2. Deutsche Mathematiker-Vereinigung (DMV), 1937, S. 18–31.
  3. Wolfgang Mathis: Theorie nichtlinearer Netzwerke. Springer, 1987, ISBN 978-3-540-18365-5.
  4. DIN 5483-2:1982 Zeitabhängige Größen – Teil 2: Formelzeichen, Kap. 1.5
  5. DIN EN 60027-1:2007 Formelzeichen für die Elektrotechnik – Teil 1: Allgemeines, Kap. 2.2.4
  6. a b DIN 40 110-1:1994 Wechselstromgrößen – Teil 1: Zweileiter-Stromkreise
  7. a b c DIN 5483-3:1994 Zeitabhängige Größen – Teil 3: Komplexe Darstellung sinusförmig zeitabhängiger Größen
  8. DIN 1302:1999 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe
  9. DIN 1304-1:1994 Formelzeichen – Teil 1: Allgemeine Formelzeichen