Konfinalität

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Konfinalität (auch: Kofinalität) ist in der Mathematik eine Eigenschaft von (partiellen) Ordnungen. In der Mengenlehre spielt sie als Eigenschaft von Ordinalzahlen und speziell Kardinalzahlen eine besondere Rolle. Der Begriff wurde von Felix Hausdorff eingeführt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine durch partiell geordnete Menge und . Die Menge heißt konfinal (kofinal) in , falls zu jedem ein mit existiert.

Die Konfinalität von wird mit bezeichnet und ist definiert als die kleinste Kardinalität einer konfinalen Teilmenge, d. h.

.

Für eine Kardinalzahl führt man folgende Begriffe ein: Falls , so heißt singulär. Falls , so heißt regulär.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Konfinalität ist genau dann , wenn die partiell geordnete Menge leer ist.
  • Die Konfinalität ist genau dann , wenn die Ordnung ein Maximum besitzt, etwa wenn es sich um eine Nachfolgerordinalzahl handelt.
  • Für nicht-leere partiell geordnete Mengen ohne maximale Elemente ist die Konfinalität mindestens abzählbar, also (siehe Aleph-Funktion), und höchstens die Kardinalität der Menge selbst, denn jede partiell geordnete Menge liegt konfinal in sich selbst.
  • Für totalgeordnetes gilt , das heißt ist regulär.
  • Für eine Nicht-Nachfolgerordinalzahl ist eine Teilmenge genau dann konfinal, wenn ihre Vereinigung gleich ist.
  • Besitzt eine unendliche Menge reguläre Kardinalität , so benötigt man mindestens -viele Mengen mit Mächtigkeit kleiner als , um als Vereinigung dieser Mengen darzustellen.
  • Für eine Limesordinalzahl ist eine Teilmenge genau dann konfinal, wenn sie als Netz, versehen mit der natürlichen Ordnung, in der Ordnungstopologie von gegen konvergiert.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Konfinalität von mit der natürlichen Ordnung ist , denn die natürlichen Zahlen bilden eine abzählbare konfinale Teilmenge.
  • ist regulär.
  • Schränkt man ein Netz unter Übernahme der Ordnung auf eine konfinale Teilmenge ein, erhält man ein Teilnetz (jedoch muss nicht jedes Teilnetz diese Gestalt besitzen).
  • Die Kardinalzahl ist singulär. Es gilt , denn ist eine konfinale Teilmenge.
  • Ist eine Nachfolgerordinalzahl und gilt das Auswahlaxiom, so ist stets regulär. Die Frage, ob es neben weitere und damit überabzählbare, reguläre Limeskardinalzahlen gibt, ist Kern der großen Kardinalzahlaxiome, d. h. der Axiome über die Existenz großer Kardinalzahlen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker (= Vieweg-Studium 58 Grundkurs Mathematik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1985, ISBN 3-528-07258-X.
  • Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.