Kongruenz (Zahlentheorie)

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Die Kongruenz ist in der Zahlentheorie eine Beziehung zwischen ganzen Zahlen. Man nennt zwei Zahlen und kongruent bezüglich eines Moduls (= eine weitere Zahl), wenn sie bei der Division durch diesen Modul beide denselben Rest haben. Das ist genau dann der Fall, wenn sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches des Moduls unterscheiden. Stimmen die Reste hingegen nicht überein, so nennt man die Zahlen inkongruent bezüglich des Moduls .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispielsweise ist 5 kongruent 11 modulo 3, da und , die beiden Reste (2) sind also gleich, bzw. da , die Differenz ist also ein ganzzahliges Vielfaches (2) des Moduls 3.

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hingegen ist 5 inkongruent 11 modulo 4, da und ; die beiden Reste sind hier nicht gleich.

Beispiel 3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Und −8 ist kongruent zu 10 modulo 6, denn bei Division durch 6 liefern sowohl 10 als auch −8 den Rest 4. Man beachte, dass die mathematische Definition der Ganzzahldivision zugrunde gelegt wird, nach der der Rest dasselbe Vorzeichen wie der Divisor (hier 6) erhält, also .

Schreibweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Aussage „ und sind kongruent modulo “ verwendet man folgende Schreibweisen:

Diese Schreibweisen können dabei als Kurzform der (zu obiger Aussage gleichwertigen) Aussage „Divisionsrest von durch ist gleich Divisionsrest von durch “, also von

,

gesehen werden (wobei in letztgenannter Gleichung die mathematische Modulo-Funktion ist, die den Rest einer ganzzahligen Division ermittelt, hier also den Rest von bzw. ; bei der mathematischen Modulo-Funktion hat das Ergebnis, also der Rest, immer dasselbe Vorzeichen wie der Modul ).

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bedeutung von Kongruenzen beruht darauf, dass mit ihnen annähernd wie mit Gleichungen gerechnet werden kann.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Theorie der Kongruenzen wurde von Carl Friedrich Gauß in seinem im Jahr 1801 veröffentlichten Werk „Disquisitiones Arithmeticae“ entwickelt. Der Begriff Kongruenz wurde von Christian Goldbach schon ab 1730 in Briefen an Leonhard Euler verwendet, jedoch ohne die theoretische Tiefe von Gauß. Im Gegensatz zu Gauß verwendete Goldbach das Symbol und nicht .[1] Auch der chinesische Mathematiker Ch'in Chiu-Shao kannte schon Kongruenzen und die damit einhergehende Theorie, wie aus seinem 1247 veröffentlichten Buch „Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln“ hervorgeht.[2]

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Zahlentheorie wird die Kongruenz auf eine Teilbarkeitsaussage zurückgeführt. Seien dazu , und ganze Zahlen, d. h. Elemente aus .

  • Zwei Zahlen und heißen kongruent modulo , wenn die Differenz teilt.
  • Zwei Zahlen und heißen inkongruent modulo , wenn die Differenz nicht teilt.

Unter Verwendung der mathematischen Notation lassen sich diese beiden Aussagen wie folgt schreiben:

Restklassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kongruenzrelation ist eine Äquivalenzrelation. Sie hat also die folgenden Eigenschaften:

Reflexivität
für alle
Symmetrie
für alle
Transitivität
und für alle

Die Äquivalenzklassen der Kongruenzrelation heißen Restklassen. Will man auch den Modul angeben, so spricht man von Restklassen . Eine Restklasse, die das Element enthält, wird oft mit bezeichnet.

Wie jede Äquivalenzrelation definiert eine Kongruenzrelation eine Partition ihrer Trägermenge: Die Restklassen zu zwei Elementen sind entweder gleich oder disjunkt, ersteres genau dann, wenn die Elemente kongruent sind:

Ausgestattet mit den von induzierten Verknüpfungen bilden die Restklassen einen Ring, den sogenannten Restklassenring. Er wird für den Modul mit bezeichnet.

Bemerkung
  • Da eine Division durch bisher nicht vorkommt, kann man für die formale Definition (im vorigen Abschnitt) wie auch für die Äquivalenzrelation (in diesem Abschnitt) den Modul zulassen.
  • Da es im Ring keine echten Nullteiler gibt, degeneriert die Relation zum trivialen Fall, zur Gleichheit:
      für alle .
  • Der unitäre Ring der Charakteristik ist isomorph zu . Diese Eigenschaft wird auch für den Fall gebraucht. Dann ist . Dieser Ring wird nicht als Restklassenring im engeren Sinn angesehen.
  • Die interessanten Fälle sind die Fälle , was man als Standard annehmen kann.
  • Der Restklassenring ist der Nullring, der nur aus einem Element besteht.

Ist nicht trivial, also , dann befinden sich in einer Restklasse alle Zahlen, die den gleichen Rest bei der Division durch aufweisen. Dann entspricht auch der Absolutwert des Moduls, also , der Anzahl der Restklassen. Beispielsweise existieren für den Modul 2 die beiden Restklassen der geraden und der ungeraden Zahlen.

Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden seien , , , , und ganze Zahlen. Dabei sei , und . Dann gelten folgende Rechenregeln:

Ist ein Polynom über den ganzen Zahlen, dann gilt:

Auch bei Kongruenzen ist ein Kürzen möglich. Es gelten jedoch andere Kürzungsregeln als von rationalen oder reellen Zahlen gewohnt (größter gemeinsamer Teiler):

Daraus folgt unmittelbar, dass – wenn der Modul eine Primzahl und diese kein Teiler von ist – gilt:

Falls der Modul eine zusammengesetzte Zahl oder ein Teiler von ist, gilt nur:

Für jeden Teiler von folgt aus , dass .

Sind ganze Zahlen ungleich null und ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches, dann gilt:

für alle

Potenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine natürliche Zahl, dann gilt:

Sind und teilerfremd, dann gilt nach dem Satz von Euler

,

wobei die Eulersche φ-Funktion bezeichnet. Daraus folgt außerdem

, falls .

Ein Spezialfall davon ist der kleine fermatsche Satz, demzufolge für alle Primzahlen die Kongruenz

erfüllt ist.

Abgeleitete Rechenregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Für gilt:
  2. Ist ein Teiler von , dann gilt:
  3. Für jede ungerade Zahl gilt:
  4. Für jede ganze Zahl gilt entweder oder oder .
  5. Für jede ganze Zahl gilt:
  6. Für jede ganze Zahl gilt entweder oder oder .
  7. Für jede ganze Zahl gilt entweder oder .
  8. Ist sowohl eine Quadratzahl als auch eine Kubikzahl (z. B. ), dann gilt entweder oder oder oder .
  9. Sei eine Primzahl mit . Dann gilt:
  10. Sei eine ungerade ganze Zahl. Ferner sei . Dann gilt:
  11. Sei . Ferner seien und Primzahlzwillinge. Dann gilt:

Lösbarkeit von linearen Kongruenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Kongruenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine lineare Kongruenz der Form

ist genau dann in lösbar, wenn die Zahl teilt. In diesem Fall besitzt die Kongruenz genau Lösungen in , und die Lösungen sind zueinander kongruent modulo .

Auch für große kann man die Lösungen effizient ermitteln, indem man den erweiterten euklidischen Algorithmus auf und anwendet, der neben auch zwei Zahlen und berechnet, die als Linearkombination von und ausdrücken:

Eine Lösung erhält man dann mit , und die übrigen Lösungen unterscheiden sich von um ein Vielfaches von .

Beispiel: ist lösbar, denn teilt die Zahl , und es gibt Lösungen im Bereich . Der erweiterte euklidische Algorithmus liefert , was die Lösung ergibt. Die Lösungen sind kongruent modulo . Für lautet die Lösungsmenge somit .

Simultane Kongruenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine simultane Kongruenz wie

ist sicher dann lösbar, wenn gilt:

  • für alle ist durch teilbar, d. h. jede Kongruenz ist für sich lösbar, und
  • die sind paarweise zueinander teilerfremd.

Der Beweis des Chinesischen Restsatzes liefert den Lösungsweg für solche simultanen Kongruenzen.

Beziehung zur Modulo-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit , , gilt allgemein:

Programmierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind zwei Zahlen und kongruent modulo einer Zahl , ergibt sich bei der Division durch derselbe Rest.

Mithilfe der vor allem in der Informatik verbreiteten „symmetrischen Variante“ der Modulo-Funktion, die in Programmiersprachen oft mit den Modulo-Operatoren mod oder % bezeichnet wird, kann man dies so schreiben:

(a mod m) = (b mod m) bzw. (a % m) = (b % m)

Man beachte, dass dies mit der in der Informatik üblichen symmetrischen Modulo-Funktion nur für positive und richtig ist. Damit die Gleichung tatsächlich für alle und äquivalent zur Kongruenz wird, muss man die durch

definierte mathematische Modulo-Funktion verwenden, deren Ergebnis immer dasselbe Vorzeichen wie der Modul hat ( ist die Gaußklammer). Mit dieser Definition gilt beispielsweise .

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kongruenzen bzw. Restklassen sind oft hilfreich, wenn man Berechnungen mit sehr großen Zahlen durchführen muss.

Eine wichtige Aussage über Kongruenzen von Primzahlen ist der kleine Satz von Fermat bzw. der fermatsche Primzahltest.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43579-4
  2. Song Y. Yan: Number theory for computing. 2. Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-43072-5, S. 111–117