Kongruenzrelation

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In der Mathematik, genauer der Algebra, nennt man eine Äquivalenzrelation auf einer algebraischen Struktur eine Kongruenzrelation, wenn die Operationen der algebraischen Struktur mit dieser Äquivalenzrelation verträglich sind. In allgemeiner Form, wie hier dargestellt, werden sie in der universellen Algebra untersucht.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien eine Menge, eine -stellige Operation (Funktion) auf und eine Äquivalenzrelation auf . Man nennt mit verträglich, falls für alle mit immer

gilt.

Sei nun eine algebraische Struktur, dann wird Kongruenzrelation auf genannt, falls alle verträglich sind mit

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus einer algebraischen Struktur und einer Kongruenzrelation auf dieser algebraischen Struktur kann eine neue algebraische Struktur gewonnen werden, die sogenannte Faktorstruktur, Faktoralgebra, Quotientenalgebra oder Quotientenstruktur, dabei ist die Grundmenge von gerade die Faktormenge und für jede -stellige Operation von wird eine neue Operation auf definiert durch

.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Für alle algebraischen Strukturen sind (genannt Diagonale oder Identität) und (genannt Allrelation) immer Kongruenzrelationen.
  2. Ist ein Homomorphismus zwischen den beiden algebraischen Strukturen und . Definiere . Dann ist eine Kongruenzrelation auf .
  3. Sei eine Gruppe, ein Normalteiler dieser Gruppe. sei diejenige Äquivalenzrelation auf mit den Äquivalenzklassen , dann ist eine Kongruenzrelation auf . Man kann sogar zeigen, dass eine bijektive Abbildung zwischen den Normalteilern und den Kongruenzrelationen einer Gruppe ist. Bei einer Gruppe entsprechen also Kongruenzrelationen genau den Normalteilern.
  4. Die analoge Aussage wie oben gilt auch für Ideale von Ringen und für Unterräume von Vektorräumen. (Sprich: Die von Idealen bzw. Unterräumen bestimmten Äquivalenzklassen entsprechen genau den von Kongruenzrelationen bestimmten Klassen).
  5. Infolgedessen gibt es für Algebren und Kongruenzen auch einen Homomorphiesatz sowie die beiden Isomorphiesätze. Sie stellen eine Verallgemeinerung der von Gruppen (und Ringen bzw. Vektorräumen) bekannten Sätze dar, sodass der Homomorphiesatz bei den Gruppen in größerem Kontext gesehen werden kann.

Homomorphiesatz (für Algebren): Sind und zwei Algebren gleichen Typs (d.h. gibt es zu jeder n-stelligen Funktion genau eine „passende“ n-stelligen Funktion ) und ist ein Algebrenhomomorphismus mit Kern , so gilt: .

Ebenso könnte man die Isomorphiesätze formulieren, für die man zuerst geeignet den Begriff der Faktorkongruenz benötigt.