Kongruenzuntergruppe

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In der Mathematik sind Kongruenzuntergruppen eine Klasse arithmetisch definierter diskreter Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe.

In der Theorie der Modulformen werden häufig Kongruenzuntergruppen zur Modulgruppe betrachtet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei

eine über definierte algebraische Gruppe und eine natürliche Zahl. Dann ist

eine Kongruenzuntergruppe. (Hierbei bezeichnet die Einschränkung der "Reduktion modulo N" auf .)

Arithmetische Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kongruenzuntergruppen sind (nach Konstruktion) arithmetische Gruppen. Für enthält jede arithmetische Gruppe eine Kongruenzuntergruppe.[1][2]

Allgemeine Ringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein kommutativer Ring. Eine Kongruenzuntergruppe ist der Kern des Homomorphismus

für ein Ideal .

Congruence subgroup problem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das congruence subgroup problem fragt, ob für einen kommutativen Ring jeder Normalteiler in eine Kongruenzuntergruppe ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Sundararaman Ramanan (Hrsg.): Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (December 1989). Manoj Prakashan, Madras 1991, ISBN 81-231-0090-6, S. 465–494.
  2. Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. Mathematical Sciences. Bd. 114, Nr. 4, 2004, S. 299–308, doi:10.1007/BF02829437.