Konjugation (Gruppentheorie)

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Die Konjugationsoperation ist eine Gruppenoperation, die eine Gruppe in Konjugationsklassen zerlegt. Die Elemente einer Konjugationsklasse haben viele Gemeinsamkeiten, sodass eine nähere Betrachtung dieser Klassen wichtige Einblicke in die Struktur nicht-abelscher Gruppen ermöglicht. Bei abelschen Gruppen sind Konjugationsklassen nebensächlich, da jedes Gruppenelement eine eigene Konjugationsklasse bildet.

Konjugationsoperation[Bearbeiten]

Die Konjugationsoperation ist eine Operation einer Gruppe auf sich selbst, die entweder als Linksoperation

(g,h) \mapsto ghg^{-1}

oder als Rechtsoperation

(g,h) \mapsto h^{-1}gh

definiert ist.

Für die Rechtsoperation (g,h) \mapsto h^{-1}gh ist die exponentielle Schreibweise h^{-1}gh = g^h üblich. In dieser Notation erfüllt die Konjugationsoperation die Beziehung (x^g)^h = x^{gh}. Im Folgenden wird die Konjugationsoperation als Linksoperation definiert.

Zwei Elemente h_1 und h_2 einer Gruppe heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element g \in G gibt, sodass h_1 = gh_2g^{-1} ist. Die Konjugiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Sie besitzt also folgende Eigenschaften:

  • Jedes Element h ist konjugiert zu sich selbst (Reflexivität).
  • Ist h_1 konjugiert zu h_2, so ist auch h_2 konjugiert zu h_1 (Symmetrie).
  • Ist h_1 konjugiert zu h_2 und h_2 konjugiert zu h_3, dann ist auch h_1 konjugiert zu h_3 (Transitivität).

Alle Elemente, die zueinander konjugiert sind, bilden jeweils eine Äquivalenzklasse, die sogenannte Konjugationsklasse von h:

G \cdot h = \left\{ghg^{-1} \mid g \in G\right\}

Dabei kann als h ein beliebiges Element der Konjugationsklasse gewählt werden. Die Konjugationsklassen sind die Bahnen der Konjugationsoperation.

Der Stabilisator

Z_G(x) = \left\{ g\in G \mid x=gxg^{-1} \right\}

eines Elementes x ist der Zentralisator von x.

Eine Untergruppe N einer Gruppe G ist invariant unter Konjugation, wenn für alle Elemente h aus N und alle Elemente g aus G das Produkt ghg^{-1} wieder in N liegt:

gNg^{-1}= N

Eine unter Konjugation invariante Untergruppe einer Gruppe wird als Normalteiler der Gruppe bezeichnet. Normalteiler erlauben die Bildung von Faktorgruppen der Gruppe.

Konjugation[Bearbeiten]

Die Konjugation mit g ist die Abbildung

\operatorname{int}_g \colon G \rightarrow G, \quad h \mapsto ghg^{-1}

Sie entsteht aus der Konjugationsoperation, indem g festgehalten wird. Die Konjugation ist ein sog. innerer Automorphismus von G. Daher kommt auch die Bezeichnung \operatorname{int}_g, bei der das „int“ für „interior“ steht. [1]

Die Abbildung

T \colon \ G \rightarrow \operatorname{Inn}(G), \quad g \mapsto \operatorname{int}_g

bildet G in die Gruppe der inneren Automorphismen \operatorname{Inn}(G), einen Normalteiler der Automorphismengruppe, ab.

Der Kern von T ist das Zentrum Z(G) von G:

Z(G) = \left\{ g \in G \mid h = ghg^{-1} \mathrm{\ f\ddot{u}r\ alle\ } h \in G\right\}

Nach dem Homomorphiesatz vermittelt die Abbildung T also einen Isomorphismus von G / Z(G) nach \operatorname{Inn}(G).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siegfried Bosch: Algebra. Springer, 2004, ISBN 3-540-40388-4, S. 239