Quelltext der Seite Konstruktion mit Zirkel und Lineal

{{Weiterleitungshinweis|Zirkel und Lineal|Die gleichnamige Software findet sich unter [[Zirkel und Lineal (Software)]].}}
[[Datei:Régua e compasso.jpg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.3|Konstruktion mit Zirkel und Lineal]]
In der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] versteht man unter einer '''Konstruktion mit Zirkel und Lineal''' die Entwicklung der exakten zeichnerischen Darstellung einer [[Geometrische Figur|Figur]] auf der Grundlage vorgegebener Größen, wobei in der Regel nur [[Zirkel]] und [[Lineal]] verwendet werden dürfen. Das Lineal hat keine Markierungen; man kann damit also nur Geraden zeichnen, aber keine Strecken abmessen.

In der [[Geometrie]] werden Zirkel und Lineal auch als '''euklidische Werkzeuge''' bezeichnet. Problemlösungen, die auf andere Hilfsmittel zurückgreifen, wurden von den Griechen der klassischen Periode (und auch später von den meisten Geometrietreibenden bis ins 20.&nbsp;Jahrhundert) als weniger zufriedenstellend betrachtet.

== Euklidische Werkzeuge ==
Die Beschränkung auf die „euklidischen Werkzeuge“ leitete sich aus den [[Euklidische Geometrie#Postulate|Postulaten]] ab, die [[Euklid]] am Anfang seines Lehrbuches ''[[Euklids Elemente|Die Elemente]]'' zusammengestellt hatte. Daraus ergeben sich als einzige zugelassene Anwendungen dieser Werkzeuge:

* das Ziehen einer [[Gerade]]n mit unbeschränkter Länge durch zwei beliebig gegebene, voneinander verschiedene [[Punkt (Geometrie)|Punkte]],
* das Ziehen eines [[Kreis (Geometrie)|Kreises]], der einen beliebig gegebenen Punkt als [[Mittelpunkt]] hat und durch einen beliebig gegebenen anderen Punkt verläuft, und
* das Übertragen einer [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] auf eine Gerade oder als [[Sehne (Geometrie)|Sehne]] auf eine Kreislinie.

== Geschichte ==
In der Antike forderte man vorerst [[Kollabierender Zirkel|kollabierende Zirkel]], also solche, die beim Hochheben vom Blatt zuschnappen. Später war auch der nicht-kollabierende Zirkel für Konstruktionen erlaubt&nbsp;– nicht zuletzt, weil mit Lineal und kollabierendem Zirkel dieselben Punkte konstruiert werden können wie mit Lineal und nicht-kollabierendem Zirkel.

Die Konstruktion nur mittels Zirkel und (unskaliertem) Lineal galt viele Jahrhunderte als die Krone mathematischer Logik. Sie galt aber lange als weitgehend ausgereizt. Die Entdeckung bezüglich Konstruierbarkeit vom <math>\cos \left(\tfrac{2\pi}{17}\right)</math> des regelmäßigen [[Siebzehneck]]s, am 30.&nbsp;März 1796 durch [[Carl Friedrich Gauß]], war die erste wesentliche Neuerung seit zweitausend Jahren.<ref>{{Literatur |Autor=Felix Klein |Titel=Gauß’ wissenschaftliches Tagebuch 1796–1814 |Sammelwerk=Mathematische Annalen |Band=57 |Datum=1903 |ISSN=0025-5831 |Seiten=1–34 |Online=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002259079 |Abruf=2020-10-30}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Carl Friedrich Gauß |Titel=Disquisitiones arithmeticae |Verlag=Humboldt-Universität zu Berlin |Datum=1801-01-01 |Online=https://edoc.hu-berlin.de/handle/18452/1163 |Abruf=2020-10-30}}</ref> Mit Hilfe der im 19.&nbsp;Jahrhundert entwickelten [[Galoistheorie]] über Nullstellen von [[Polynom]]en konnten auch Aussagen über [[Konstruierbares Polygon|konstruierbare Polygone]] und die [[Dreiteilung des Winkels|Dreiteilung beliebiger Winkel]] gemacht werden.

Viele Mathematiker haben sich jahrelang an –&nbsp;wie man heute weiß, unlösbaren&nbsp;– Aufgaben wie der [[Quadratur des Kreises]] versucht. Innerhalb der letzten gut 100 Jahre wurde die euklidische Einschränkung jedoch mehr und mehr als unnötige Begrenzung der Möglichkeiten gesehen. Einige Kritiker sahen darin sogar eine sogenannte Denkblockade. Daher wurde das Spektrum der Werkzeuge erweitert. Eine allgemeine Teilung des Winkels kann mit Hilfe einer Schablone erfolgen, deren Kante eine [[archimedische Spirale]] bildet. In der zweiten Hälfte des 19.&nbsp;Jahrhunderts kam mit dem „[[Tomahawk (Zeichengerät)|Tomahawk]]“ ein Gerät zur allgemeinen Dreiteilung des Winkels auf.

Nach dem [[Satz von Mohr-Mascheroni]] (nach [[Georg Mohr (Mathematiker)|Georg Mohr]] und [[Lorenzo Mascheroni]]) können Konstruktionsaufgaben mit Zirkel und Lineal auch mit dem Zirkel allein ausgeführt werden und nach dem [[Satz von Poncelet-Steiner]] (nach [[Jean-Victor Poncelet]], [[Jakob Steiner]]) auch mit dem Lineal und einem vorgegebenen Kreis.
{{Siehe auch|Linealgeometrie}}

== Algebraische Operationen ==
Mit Zirkel und Lineal kann man mit graphisch vorgegebenen oder bereits konstruierten [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] die folgenden elementaren [[algebra]]ischen Operationen ausführen (das heißt, deren Ergebnis in der Darstellung auf der [[Zahlengerade]] konstruieren):
* die [[Addition]] zweier Zahlen (Konstruktion einer Summe),
* die [[Subtraktion]] zweier Zahlen (Konstruktion einer Differenz),
* die [[Multiplikation]] zweier Zahlen (Konstruktion eines Produktes),
* die [[Division (Mathematik)|Division]] einer Zahl durch eine von Null verschiedene Zahl (Konstruktion eines Quotienten),
* die [[Dezimalsystem|Dezimalzahl]] mithilfe des dritten [[Strahlensatz#Formulierung der Strahlensätze|Strahlensatzes]],
* das [[Quadratwurzel]]ziehen aus einer nichtnegativen Zahl (Konstruktion einer Quadratwurzel),
* das [[Quadrat (Mathematik)|Quadrieren]] einer Zahl (Konstruktion eines Quadrats),
* das [[Potenz (Mathematik)|Potenzieren]] einer Zahl,
* das Lösen [[Quadratische Gleichung|quadratischer Gleichungen]].
Mit anderen Worten: „Konstruierbar sind alle Zahlen, die man mit den Rechenoperationen <math>+,\;-,\;\times,\;/,\;\sqrt{}</math> (beliebig oft und in beliebiger Reihenfolge angewandt) aus ganzen Zahlen berechnen kann.“<ref name="Vollmayr">{{Literatur |Autor=Hans Vollmayr |Hrsg=Elmar Mittler |Titel=17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal |TitelErg=In: ''Göttinger Bibliotheksschriften 30.'' „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen |Verlag=Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek |Ort=Göttingen |Datum=2005 |ISBN=3-930457-72-5 |Seiten=104 |Online=[http://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/Geometrie06/Material/Konstr17eck.pdf#page=15&zoom=auto,-13,706 ''Der tiefere Grund der Konstruierbarkeit des Siebzehnecks''] |Abruf=2024-05-03}}</ref>

Alle Zahlen, die ''nicht'' durch Anwendung endlich vieler dieser elementaren Operationen erhalten werden können, können auch ''nicht'' mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Das sind sogar [[Abzählbare Menge|überabzählbar]] viele, nämlich (wenn die Zahlen 0 und 1 vorgegeben sind) alle [[Transzendente Zahl|transzendenten Zahlen]] wie etwa die [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> oder die [[Eulersche Zahl]] <math>\mathrm e</math>, aber auch jede [[algebraische Zahl]], deren [[Algebraische Zahl#Grad und Minimalpolynom einer algebraischen Zahl|Grad]] ''keine'' [[Zweierpotenz]] ist, wie etwa die Zahl <math>\sqrt[3]{2}</math> vom Grad 3 als Nullstelle des über <math>\Q</math> [[Irreduzibles Polynom|irreduziblen Polynoms]] <math>x^3-2</math>.

Zur Konstruktion des Produktes und des Quotienten wird der [[Strahlensatz]] verwendet und zur Konstruktion von Quadratwurzeln der [[Kathetensatz]] oder der [[Höhensatz]] (siehe Zeichnungen weiter unten).

Eine geometrische Struktur, die eigens dazu entwickelt wurde, die Möglichkeiten der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal algebraisch darzustellen, bilden die ''euklidischen Ebenen'' (im Sinne der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]]) über [[Euklidischer Körper|euklidischen Körpern]].

=== Addition und Subtraktion ===
<gallery widths="350" perrow="2">
Datei:Number line with addition of 1 and 2.svg|Addition <math>1 + 2</math>
Datei:Number line with addition of -2 and 3.svg|Subtraktion <math>3 - 2 = 3 + (-2)</math>
</gallery>

=== Multiplikation ===
<gallery widths="250"  perrow="2">
Datei:Number line multiplication 2 with 1,5.svg|Multiplikation <math>2 \cdot 1{,}5</math>
Datei:Number line with multiplication of -0.5 with 2.svg|Multiplikation <math>-0{,}5 \cdot 2</math>
</gallery>

<gallery widths="250" heights="270"  perrow="5">
Datei:01 Multiplikation-Division.svg|Multiplikation <math>a\cdot b</math> und [[Division (Mathematik)|Division]] <math>a:b</math> mit Kehrwert <math>b:a</math> am Beispiel <math>a<b</math>.<br /><math>m_s</math> = Mittelsenkrechte. Die Reihenfolge der Konstruktionsschritte ist gleich der alphabetischen Reihenfolge der Punktebezeichnung.
Datei:01 Multiplikation-Division-2.svg|Multiplikation <math>a\cdot b</math> und Division <math>a:b</math> mit Kehrwert <math>b:a</math> am Beispiel <math>a>b</math>.<br /><math>m_s</math> = Mittelsenkrechte. Die Reihenfolge der Konstruktionsschritte ist gleich der alphabetischen Reihenfolge der Punktebezeichnung.
Datei:01 Multiplikation-Sekantensatz.svg|[[Multiplikation]] <math>a\cdot b</math> mithilfe des [[Sekantensatz]]es. Der Winkel <math>\alpha</math> ist beliebig gewählt. Den Mittelpunkt des Kreises bestimmen zwei Mittelsenkrechten.<br />Die Reihenfolge der Konstruktionsschritte beginnt bei <math>O</math> und setzt sich fort mit <math>A, B, C</math> und <math>D.</math>
Datei:01 Multiplikation-Sehnensatz.svg|Multiplikation <math>a\cdot b</math> mithilfe des [[Sehnensatz]]es. Den Mittelpunkt des Kreises bestimmen zwei Mittelsenkrechten.<br />Die Reihenfolge der Konstruktionsschritte beginnt bei <math>O</math> und setzt sich fort mit <math>A, B, C</math> und <math>D.</math>
Datei:
Datei:Number construction multiplication.svg|Multiplikation <math>a\cdot b</math> mithilfe des  [[Strahlensatz]]es
</gallery>

=== Division ===
<gallery widths="340" heights="170" perrow="3">
Datei:Number line division 3 with 2.svg|Division <math>3 : 2</math>
Datei:01-Number line division 0.3 with 0.8.svg|Division <math>0{,}3 : 0{,}8</math> ([[Dividend]] um den Faktor 10 vergrößert)
Datei:01 Division-a-b 2.svg |Division mit Zirkel und Lineal, für <math>a:b</math> und Kehrwert <math>b:a</math>, Beispiel <math>a>b</math>
</gallery>

<gallery widths="340" heights="400" perrow="1">
Datei:01 Division-a-b 1.svg |Division mit Zirkel und Lineal, für <math>a:b</math> und Kehrwert <math>b:a</math>, Beispiel <math>a<b</math><br /> Die gestrichelten Linien dienen lediglich dazu, den Nachweis mithilfe des Sehnensatzes zu verdeutlichen.
</gallery><gallery widths="400" heights="300"  perrow="1">
Datei:01- Strahlensatz Division Dividend = 1.svg|[[Quotient]]en mit <math>1</math> als [[Division (Mathematik)#Definition|Dividenden]] (quasi um den Faktor <math>10</math> vergrößert) mithilfe des [[Strahlensatz#Erweiterungen|dritten Strahlensatzes]].<br />Die Strecke <math>\overline{A'B'}</math> besteht aus zehn gleichen Abschnitten, der vierte Teilungspunkt entspricht dem [[Division (Mathematik)#Definition|Divisor]] <math>4</math>.
</gallery>
<gallery widths="250" heights="270"  perrow="1">
Datei:Number construction division.svg|Division <math>a:b</math> mithilfe des [[Strahlensatz]]es
</gallery>

=== Dezimalzahl ===
<gallery widths="400" heights="300"  perrow="1">
Datei:01- Strahlensatz Anwendung Dezimalzahl.svg|Dezimalzahl mithilfe des dritten Strahlensatzes
</gallery>

=== Quadratwurzel ===
<gallery widths="250" heights="180"  perrow="3">
File:Construction of square root of 2 on the line number.svg|[[Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] aus 2, Zwischenschritte&nbsp;– zum Beispiel, um das Quadrat zu konstruieren&nbsp;– wurden der Übersichtlichkeit wegen weggelassen.
File:01-Construction of square root of 3.svg|Wurzel aus <math>3</math>
File:01 Construction of square root of 3.svg|Wurzel aus <math>3</math>
</gallery>

<gallery widths="250" heights="180"  perrow="2">
File:01 Construction of square root of product-1.svg|Wurzel aus einem Produkt<br />durch Addition der Faktoren (<math>6+4</math>) und mithilfe des [[Höhensatz]]es oder des [[Geometrisches Mittel|geometrischen Mittels]]
File:Wurzelkonstruktion mit hoehensatz.svg|Wurzel aus <math>a</math>
</gallery>

<gallery widths="250" heights="180"  perrow="3">
File:01 Construction of square root of product-2.svg|Wurzel aus einem Produkt durch Subtraktion der Faktoren (<math>6-4</math>) und mithilfe des [[Kathetensatz]]es
File:01-Quadratwurzel kleiner 1.svg|Wurzel aus <math>a</math> kleiner als <math>1</math>
File:01-Quadratwurzel größer 1.svg |Wurzel aus <math>a</math> größer als <math>1</math>
</gallery>

=== Potenzieren ===
<gallery widths="250" heights="180" perrow="2" caption="Quadrieren">
File:01 Square a line segment.svg|Quadrat einer Zahl größer als <math>1</math>
File:01 Square a line segment-2.svg|Quadrat einer Zahl kleiner als <math>1</math>, <math>\overline{BC} = \overline{AB}</math>
</gallery>

<gallery widths="380" heights="200" perrow="2" caption="Exponent 3">
File:01 Cubing a line segment.svg |Dritte Potenz einer Zahl größer als <math>1</math>
File:01 Cubing a line segment-2.svg |Dritte Potenz einer Zahl kleiner als <math>1</math>, quasi die Weiterführung des Quadrierens einer Zahl kleiner als <math>1</math>, denn <math>\overline{BF} = \overline{AB}^2</math>
</gallery>

<gallery widths="455" heights="200" perrow="2" caption="Exponent 2, 3, 4 ...">
File:01 Potenzieren- Exponent 4.svg |[[Potenz (Mathematik)#Potenzwert mit Zirkel und Lineal|Potenzwert <math>\;a^2,\;a^3, \;a^4\ldots\;</math>]] mit Zirkel und Lineal, Beispiel <math>a</math> größer als <math>1</math>.
File:01 Potenzieren- Exponent 4-2.svg |Potenzwert <math>\;a^2,\;a^3, \;a^4\ldots\;</math> mit Zirkel und Lineal, Beispiel <math>a</math> kleiner als <math>1</math>
</gallery>

<gallery widths="400" heights="300"perrow="1" caption="Dreiecksfraktal, Potenzieren der Länge f">
File:01 Dreiecksfraktal-Länge f potenzieren.svg|Beim [[Goldener Schnitt#Dreiecksfraktal|Dreiecksfraktal]] ist, wegen <math>\mathrm{f}+\mathrm{f^2}=1</math>, eine einfache Konstruktion der Potenzen <math>\mathrm{f^2},\; \mathrm{f^3},\;\mathrm{f^4},\;\mathrm{f^5}\;\mathrm{f^6},\;\mathrm{f^7}\ldots</math> möglich.
</gallery>

=== Quadratische Gleichung ===
{{Hauptartikel|Quadratische Gleichung}}
<math>p</math> und <math>q</math> sind [[rationale Zahl]]en (die folgenden Beispiele nutzen den gleichen betreffenden Wert).

Strecke <math>\overline{AC}=\frac{4}{p}</math> und <math>\overline{BD}=\frac{q}{p}</math>.
 
Die eingezeichneten Parabeln (hellgrün) sind nicht Teil der Konstruktion, sie dienen lediglich der Verdeutlichung.
<gallery widths="300" heights="250" perrow="2">
File:01 Quadratische Gleichung-1.svg |<math>X_1, X_2</math> Lösungen der Gleichung <math>x^2-px+q=0</math>
File:01 Quadratische Gleichung-2.svg |<math>X_1, X_2</math> Lösungen der Gleichung <math>x^2+px+q=0</math>
</gallery>

<gallery widths="400" heights="250" perrow="2">
File:01 Quadratische Gleichung-3.svg |<math>X_1, X_2</math> Lösungen der Gleichung <math>x^2-px-q=0</math>
File:01 Quadratische Gleichung-4.svg |<math>X_1, X_2</math> Lösungen der Gleichung <math>x^2+px-q=0</math>
</gallery>

== Unmögliche Konstruktionen ==
Viele geometrische Figuren können mit Zirkel und Lineal allein nicht exakt konstruiert werden. Darunter sind die [[Klassische Probleme der antiken Mathematik|klassischen Probleme der antiken Mathematik]]:
* die [[Dreiteilung des Winkels]],
* die [[Verdoppelung des Würfels]],
* die [[Quadratur des Kreises]]
sowie
* die [[Kegelschnitt]]e Ellipse (mit Ausnahme des Kreises), Parabel, Hyperbel,
* viele regelmäßige [[Vieleck]]e und
* das [[Alhazensches Problem|Alhazensche Problem]].

Der [[Beweis (Mathematik)|Beweis]], dass diese Probleme ''grundsätzlich'' nicht mit Zirkel und Lineal zu lösen sind, gelang jedoch erst im 19.&nbsp;Jahrhundert. Dennoch bewirkten die Versuche, das Unmögliche zu vollbringen, eine Reihe von Leistungen. Die Griechen fanden einige Lösungen der „klassischen“ Probleme mit anderen Hilfsmitteln, wobei sie viele Resultate der höheren Geometrie entdeckten.

== Näherungskonstruktion ==
Für einige Figuren, die mit Zirkel und Lineal nicht konstruiert werden können oder für die die Konstruktion zu aufwändig ist, gibt es Möglichkeiten, diese zumindest näherungsweise zu konstruieren. Diese Näherungskonstruktionen kommen dem wahren Objekt sehr nahe. Bekannte Näherungskonstruktionen sind zum Beispiel die [[Näherungskonstruktion von Kochański|Näherungskonstruktion für die Kreiszahl Pi von Kochański]], die [[Quadratur des Kreises#Näherungskonstruktionen|Näherungskonstruktionen für die Quadratur des Kreises]], die [[Siebeneck#Näherungskonstruktionen|Näherungskonstruktionen für das regelmäßige Siebeneck]] und die [[Neuneck#Näherungskonstruktionen|Näherungskonstruktionen für das regelmäßige Neuneck]].

== Anwendung ==
Die geometrischen Grundkonstruktionen spielen insbesondere in der [[Darstellende Geometrie|Darstellenden Geometrie]] und im [[Technisches Zeichnen|Technischen Zeichnen]] eine wesentliche Rolle. Ihre Vermittlung beginnt bereits mit der [[Mathematikdidaktik|Schulmathematik]] und findet im Ausbildungsberuf des Technischen Zeichners vielfältige Anwendungen.

== Literatur ==
* [[Ludwig Bieberbach]]: ''Theorie der Geometrischen Konstruktionen.'' Birkhäuser, Basel, 1952.
* Hans-Wolfgang Henn: ''Elementare Geometrie und Algebra: Basiswissen für Studium und Mathematikunterricht.'' Vieweg, 2003, S.&nbsp;31–60.
* George E. Martin: ''Geometric Constructions.'' Springer, 2012, ISBN 978-1-4612-0629-3.
* Nicholas D. Kazarinoff: ''Ruler and the Round: Classic Problems in Geometric Constructions.'' Courier Dover (Neuauflage), 2012, ISBN 978-0-486-14361-3.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Planimetrie/ Die drei antiken Probleme/ Näherung 2|Die drei antiken Probleme}}
{{Wikibooks|Planimetrie/ Die drei antiken Probleme/ Näherung 1|Näherungskonstruktionen}}
{{Commons|File:01 Quadratwurzel-div.-1x.svg}}
{{Commons|File:01 Quadratwurzel-div.-1x+2x.svg}}
{{Commons|File:01 Quadratwurzel-div.-Halbkreis 1y, 2y-1.svg}}
* [[Zirkel und Lineal (Software)]]
* [[Geogebra| Geogebra, ein freies Programm für Konstruktionen am Computer]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Darstellende Geometrie]]
[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Geschichte der Mathematik]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]