Kontingenzkoeffizient

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Der Kontingenzkoeffizient (nach Karl Pearson) ist ein statistisches Zusammenhangsmaß. Der Pearsonsche Kontingenzkoeffizient drückt die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei (oder mehreren) nominalen oder ordinalen Variablen aus. Er basiert auf dem Vergleich von tatsächlich ermittelten Häufigkeiten zweier Merkmale mit den Häufigkeiten, die man bei Unabhängigkeit dieser Merkmale erwartet hätte.

Quadratische Kontingenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die quadratische Kontingenz[1] oder der Chi-Quadrat-Koeffizient , auf dem auch der Kontingenzkoeffizient beruht, ist ein Maß für den Zusammenhang der betrachteten Merkmale:

Die Aussagekraft des -Koeffizienten ist gering, da seine Obergrenze, d. h. der Wert, den er bei vollkommener Abhängigkeit der betrachteten Merkmale annimmt, abhängig von der Größe (Dimension) der Kontingenztafel (d. h. von der Anzahl der Ausprägungen der Variablen) und der Größe der untersuchten Gesamtheit ist. Eine Vergleichbarkeit von Werten des -Koeffizienten über verschiedene Kontingenztabellen und Stichprobengrößen ist daher nicht gegeben.[1][2] Bei völliger Unabhängigkeit der Merkmale ist .

Es gilt:[3]

,

wobei das Minimum der Anzahl der Zeilen und der Anzahl der Spalten der Kontingenztabelle bezeichnet.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die -Größe wird benötigt, um den Kontingenzkoeffizienten zu ermitteln. Auch bei statistischen Tests findet die -Größe Verwendung (siehe Chi-Quadrat-Test).

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei folgende Kontingenztafel aus einer Befragung entstanden:

Berechnung des -Koeffizienten:

Mittlere quadratische Kontingenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein weiteres Maß, um die Stärke der Abhängigkeit der Merkmale in einer Kontingenztafel anzugeben, ist die mittlere quadratische Kontingenz, die im Wesentlichen eine Erweiterung des -Koeffizienten darstellt:

Je größer dieses Maß ist, desto stärker ist der Zusammenhang zwischen den zwei analysierten Merkmalen. Sind die beiden Merkmale unabhängig, so wird jeder Summand durch den Zähler des Bruches zu , das Maß selbst damit auch. Im Falle einer ()-Kontingenztafel ist das Maß normiert und nimmt Werte im Intervall an.

Kontingenzkoeffizient nach Karl Pearson[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

kann grundsätzlich sehr große Werte annehmen und ist nicht auf das Intervall beschränkt. Um die Abhängigkeit des Koeffizienten vom Stichprobenumfang auszuschalten, wird auf Basis des der Kontingenzkoeffizient (auch oder ) nach Karl Pearson ermittelt:

.

mit der Stichprobenumfang.

Dieser kann Werte im Intervall annehmen. Problematisch ist, dass die obere Grenze des Kontingenzkoeffizienten abhängig von der Anzahl der betrachteten Dimensionen ist:[4]

Es gilt mit das Minimum der Anzahl der Zeilen und der Anzahl der Spalten der Kontingenztabelle.

Korrigierter Kontingenzkoeffizient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um zusätzlich zum Einfluss des Stichprobenumfangs auch den Einfluss der Dimension der betrachteten Kontingenztafel (der Anzahl der Merkmalsausprägungen) auf die Obergrenze des Koeffizienten auszuschalten und damit die Vergleichbarkeit von Ergebnissen zu gewährleisten, wird der korrigierte Kontingenzkoeffizient (häufig auch ) zur Messung des Zusammenhangs genutzt:

,

mit wie oben.

Es gilt : Ein nahe deutet dabei auf unabhängige Merkmale hin, ein nahe auf ein hohes Maß an Abhängigkeit zwischen den Merkmalen.

Für das Beispiel ergibt sich ein korrigierter Kontingenzkoeffizient .

Cramérs V[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Cramérs (englisch: Cramér’s ) ist ein Kontingenzkoeffizient, genauer ein -basiertes Zusammenhangsmaß. Es ist benannt nach dem schwedischen Mathematiker und Statistiker Harald Cramér.

Cramérs ist eine -basierte Maßzahl. Cramérs ist eine symmetrische Maßzahl für die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei oder mehr nominalskalierten Variablen, wenn (mindestens) eine der beiden Variablen mehr als zwei Ausprägungen hat. Bei einer -Tabelle entspricht Cramérs dem absoluten Betrag des Phi-Koeffizienten.

Vorgehen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

.
: Gesamtzahl der Fälle (Stichprobenumfang)
das Minimum der Anzahl der Zeilen und der Anzahl der Spalten der Kontingenztabelle

Interpretation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Cramérs liegt bei jeder Kreuztabelle – unabhängig von der Anzahl der Zeilen und Spalten – zwischen und . Er kann bei beliebig großen Kreuztabellen angewandt werden. Da Cramérs immer positiv ist, kann keine Aussage über die Richtung des Zusammenhangs getroffen werden.

Phi-Koeffizient ϕ[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Phi-Koeffizient (auch Vierfelder-Korrelationskoeffizient, Vierfelderkoeffizient) (auch ) ist ein Maß für die Stärke des Zusammenhangs zweier dichotomer Merkmale.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Vierfelderkorrelation zwischen zwei dichotomen Merkmalen und zu schätzen, stellt man zuerst eine Kontingenztafel auf, die die gemeinsame Häufigkeitsverteilung der Merkmale enthält.

 

Mit den Daten aus der Tabelle kann man nach der Formel

berechnen.[5] Die Formel ergibt sich aus der allgemeineren Definition des Korrelationskoeffizienten im Spezialfall zweier binärer Zufallsvariablen und .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Messen der Assoziation zwischen …

  • … Zustimmung zu oder Ablehnung einer Politikentscheidung und dem Geschlecht, …
  • … Vorführung bzw. Nichtvorführung eines Werbespots und Kauf oder Nichtkauf eines Produkts.
  • Anwendung von auf eine Konfusionsmatrix mit zwei Klassen.

Hinweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwischen und besteht der Zusammenhang   bzw.  , wobei die Anzahl der Beobachtungen bezeichnet. Damit ist die Quadratwurzel (das Vorzeichen spielt keine Rolle) aus der mittleren quadratischen Kontingenz (siehe oben).

Als Teststatistik verwendet ist unter der Annahme, dass gleich null ist, -verteilt mit einem Freiheitsgrad.

Phi als Maß für die Effektstärke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn ein Maß zur Bestimmung der Effektstärke mit Orientierung auf Wahrscheinlichkeiten gesucht wird, kann dafür verwendet werden. Da bei Kreuztabellen, die nicht absolute Häufigkeiten, sondern Wahrscheinlichkeiten enthalten, an der Stelle, an der normalerweise die Fallzahl zu finden ist, immer steht, wird identisch mit Cohens :

Dabei wird eben nicht in Bezug auf absolute Häufigkeiten, sondern in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten berechnet. Zu Cohens .[6] und[7] Ebenfalls numerisch identisch ist es, wenn in Bezug auf Kreuztabellen, die Wahrscheinlichkeiten enthalten, als mit berechnet wird.[8]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • J. Bortz, G.A., Lienert, K. Boehnke: Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Springer, Berlin 1190 (Kap. 8.1, S. 326 und S. 355 ff).
  • J. M. Diehl, H.U. Kohr: Deskriptive Statistik. 12. Auflage. Klotz Eschborn 1999, S. 161.
  • P. Zöfel: Statistik für Psychologen. Pearson Studium, München 2003.
  • Signifikanzprüfung für die Vierfelderkorrelation (PDF; 13 kB).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Backhaus: Multivariate Analysemethoden. 11. Auflage. Springer, 2006, S. 241, 700.
  2. W. Kohn: Statistik. Datenanalysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, 2005, S. 115.
  3. W. Kohn: Statistik. Datenanalysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, 2005, S. 114.
  4. H. Toutenburg, C. Heumann: Deskriptive Statistik: Eine Einführung in Methoden und Anwendungen mit R und SPSS. 6. Auflage. Springer, 2008, S. 115.
  5. Bernd Rönz, Hans Gerhard Strohe (Hrsg.): Lexikon Statistik. Gabler, Wiesbaden 1994, S. 25.
  6. J. Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage. Springer 2005, S. 167–168.
  7. D. Wentura: Ein kleiner Leitfaden zur Teststärke-Analyse. Fachrichtung Psychologie der Universität des Saarlandes 2004, S. 6, (researchgate.net).
  8. Jacob Cohen: Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences. 2. Aufl. Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale 1988, ISBN 0-8058-0283-5.