Kontraposition

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Unter Kontraposition (von lateinisch contra ‚gegen‘ und lat. positio ‚Position‘, ‚Stellung‘, ‚Lage‘) versteht man in der Logik den Umkehrschluss einer Implikation, d. h. den Schluss von „Wenn A, dann B“ auf „Wenn nicht B, dann nicht A“.

Tatsächlich ist die Aussage „Aus A folgt B“ sogar äquivalent zu ihrer Kontraposition „Aus nicht B folgt nicht A“.

Nicht zulässig ist dagegen der Schluss „Aus B folgt A“ oder „Aus nicht A folgt nicht B“.

Notation in der Mathematik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und zwei Aussagen, dann sind die Folgerungen (Subjunktionen) und äquivalente Aussagen:

Dabei bezeichnet die Negation einer Aussage . In der Mathematik verwendet man für Implikationen die Notation , die die Allgemeingültigkeit der Folgerung anzeigt.

Für ist die Subjunktion äquivalent („“) zur Kontraposition . Die Subjunktion selbst ist allerdings in den reellen Zahlen eine falsche Aussage, denn es gilt zwar aber – wegen der Ungleichung  – nicht . Die Äquivalenz („“) ist dagegen tautologisch (allgemeingültig), da die linke Aussage genau dann wahr ist, wenn auch die Kontraposition (rechte Aussage) wahr ist.

Wahrheitstafeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Äquivalenz der Aussagen kann man über Wahrheitstabellen überpüfen:

Wahrheitstabelle für
wahr wahr wahr
wahr falsch falsch
falsch wahr wahr
falsch falsch wahr
Wahrheitstabelle für
wahr wahr falsch falsch wahr
wahr falsch wahr falsch falsch
falsch wahr falsch wahr wahr
falsch falsch wahr wahr wahr

Äquivalenz zu einer ODER-Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sowohl als auch sind ferner äquivalent zu . „“ ist dabei die Notation für ein „ODER“ (Disjunktion) – siehe auch folgende Wahrheitstabelle im Vergleich zu den Wahrheitstabellen für Subjunktion und Kontraposition.

Wahrheitstabelle für
wahr wahr falsch wahr
wahr falsch falsch falsch
falsch wahr wahr wahr
falsch falsch wahr wahr

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alltagsbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

„Wenn es regnet, dann ist der Fußgängerweg nass.“ Diese Aussage („Aus A folgt B“) ist äquivalent zu ihrer Kontraposition („Aus nicht B folgt nicht A“): „Wenn der Fußgängerweg nicht nass ist, dann regnet es nicht.“

„Aus B folgt A“ gilt allerdings nicht: „Wenn der Fußgängerweg nass ist“, muss es nicht zwangsläufig regnen. Es kann (immer noch) regnen; es kann schon wieder regnen; es regnet nicht; oder der Fußgängerweg ist aus anderen Gründen nass (Straßenreinigung, spielende Kinder).

Mathematisches Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aussage:

Es gilt die Kontraposition:

Falsch wäre jedoch:

Denn ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend für :
Wenn gilt, kann neben auch gelten.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]