Konvergenzkriterium von Pringsheim

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Die Konvergenzkriterium von Pringsheim oder auch Hauptkriterium von Pringsheim ist ein Kriterium über das Konvergenzverhalten von unendlichen Kettenbrüchen. Es geht zurück auf den deutschen Mathematiker Alfred Pringsheim und gehört zu den klassischen Lehrsätzen der Kettenbruchlehre innerhalb der Analytischen Zahlentheorie.[1][2] In der englischsprachigen Fachliteratur wird das Kriterium auch unter dem Namen Śleszyński-Pringsheim's theorem (u. ä.) geführt,[3] wobei der erstgenannte Name auf den polnisch-russischen Mathematiker Ivan Śleszyński (1854–1931) verweist, welcher dieses Kriterium ebenfalls und schon vor Pringsheim gefunden hatte. Es gibt Hinweise darauf, dass Alfred Pringsheim die entsprechende Veröffentlichung von Ivan Śleszyński möglicherweise kannte, als er seine Veröffentlichung im Jahre 1898 machte.[4] Anzufügen ist hier aber auch der Hinweis von Oskar Perron im Band II seiner Lehre von den Kettenbrüchen, wonach der wesentliche Inhalt dieses Satzes schon in dem Lehrbuch der algebraischen Analysis von Moritz Abraham Stern (Leipzig 1860) zu finden ist.

Formulierung der Kriteriums[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Teil I[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für zwei Zahlenfolgen komplexer Zahlen     und   [5]   mit der Eigenschaft, dass die Ungleichungen

  [6]

erfüllt sind, ist der zugehörige Kettenbruch

stets konvergent. Das bedeutet:

Die Folge der Näherungsbrüche

 

ist eine konvergente Folge und der durch sie eindeutig bestimmte Grenzwert mit

   .

ist der Wert des zugehörigen Kettenbruchs.

Teil II[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Falle, dass die oben genannte Bedingung erfüllt ist, gilt stets

    und damit   .

Teil III[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Grenzfall     liegt dann und nur dann vor, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

(IIIa)    
(IIIb)   Alle     sind negative reelle Zahlen.
(IIIc) Die Reihe     ist divergent.

In diesem Grenzfall hat der Kettenbruch den Wert 

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem Konvergenzkriterium von Pringsheim lassen sich die mehrere weitere Konvergenzkriterien ableiten. Dazu zählen die folgenden:[7][8][9]

Folgerung I: Der Satz von Worpitzky[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Zahlenfolge komplexer Zahlen    , welche in allen Folgengliedern die Ungleichung

 

erfüllt, ist der Kettenbruch

stets konvergent.

Dabei gilt für die Näherungsbrüche       stets

und dementsprechend für den Wert     des Kettenbruchs

Der Satz von Worpitzky wurde im Jahre 1865 von Julius Worpitzky veröffentlicht[10] und gilt als das erste Konvergenzkriterium für Kettenbrüche mit Elementen der komplexen Ebene.[11]

Folgerung II: Weiteres Konvergenzkriterium von Pringsheim[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Spezialisierung findet man mit dem Konvergenzkriterium von Pringsheim ein weiteres, welches Alfred Pringsheim in seiner Arbeit Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche in den Sitzungsberichten der Bayerischen Akademie der Wissenschaften von 1898 selbst formuliert hat[12] und welches wie folgt lautet:

Für eine Zahlenfolge komplexer Zahlen    , welche in allen Folgengliedern die Ungleichung

 

erfüllt, ist der reguläre Kettenbruch

stets konvergent.

Dieses weitere Konvergenzkriterium von Pringsheim ist beispielsweise immer anwendbar für den Fall, dass alle Teilnenner     mindestens den Betrag 2 haben.

Zugehörige Kriterien: Die Sätze von Stern-Stolz und von Seidel-Stern sowie der Konvergenzsatz von Tietze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Falle der regulären unendlichen Kettenbrüche existieren hinsichtlich der Frage der Konvergenz und Divergenz einige Kriterien, welche als Ergänzung zum pringsheimschen Konvergenzkriterium immer wieder zum Tragen kommen. Dazu zählen die im Folgenden dargestellten Sätze, welche neben diesem zu den klassischen Resultaten der Kettenbruchkonvergenztheorie zählen.

Satz von Stern-Stolz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Stern-Stolz formuliert eine sehr allgemeine Bedingung für die Divergenz regulärer unendlicher Kettenbrüche und lautet wie folgt:[13][14][15]

Ein beliebiger komplexer Kettenbruch

zu einer Zahlenfolge komplexer Zahlen      

ist in jedem Falle divergent, wenn die zugehörige Reihe

absolut konvergent ist. D. h.: Für die Konvergenz des Kettenbruchs ist es stets notwendig, dass

gilt.

Dieses Kriterium geht auf Moritz Abraham Stern und Otto Stolz zurück.[13][16][17][18][19]

Satz von Seidel-Stern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Seidel-Stern verschärft den Satz von Stern-Stolz für den Fall regulärer unendlicher Kettenbrüche mit durchweg positiven Teilnennern, indem er die zuletzt genannte Bedingung sogar als notwendige und hinreichende Bedingung ausweist. Er lautet also:

Für eine Zahlenfolge positiver reeller Zahlen     konvergiert der Kettenbruch

dann und nur dann, wenn die zugehörige Reihe

divergiert.

Dieses Kriterium geht auf Philipp Ludwig von Seidel und Moritz Abraham Stern zurück.[20][21][22][23] Es kommt zum Tragen, wenn die in Teil I des pringsheimschen Kriteriums genannte Ungleichung nicht durchgängig erfüllbar ist, jedoch in Verbindung mit der vorausgesetzten Positivität der Teilnenner durch die Reihendivergenzbedingung ersetzt werden kann.

Konvergenzsatz von Tietze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Konvergenzsatz von Tietze behandelt ebenfalls das Konvergenzverhalten unendlicher Kettenbrüche. Er geht zurück auf den deutschen Mathematiker Heinrich Tietze und besagt folgendes:[24][25]

Es seien zwei Zahlenfolgen reeller Zahlen     und     gegeben, welche für alle Indizes     den folgenden drei Bedingungen genügen:

  (I)   [26]
  (II)  
  (III)  

Dann ist der zugehörige Kettenbruch

  (*)  

stets konvergent. Die Folge der Näherungsbrüche

 

konvergiert dabei in     gegen den Grenzwert

und dabei gilt

, falls   ,

bzw.

, falls     .

Darüber hinaus erfüllen die Nenner     der Näherungsbrüche         stets die Ungleichung

und es ist

Zusammenhang mit Irrationalität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgehend vom Konvergenzsatz von Tietze lassen sich Irrationalitätsaussagen erzielen. Wie schon Heinrich Tietze selbst bewies, konvergiert jeder unendliche Kettenbruch der Form   (*)   stets – mit einer einzigen Ausnahme! – gegen eine irrationale Zahl   , sofern man die Bedingungen wie folgt verschärft:[27]

  (Ia)  
  (IIb)    ,   (IIa)  
  (IIIa)    , sofern  
 

Die Ausnahme liegt dann vor, wenn ab einem Index     für alle Indizes     zusätzlich die folgende Ausnahmebedingung   (A)   erfüllt ist:

  (A)   ,  

In diesem Ausnahmefall ist der Grenzwert     eine rationale Zahl.

Beispiele und Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel I[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim konvergiert der folgende unendliche Kettenbruch:

Da   (IIIb)   nicht erfüllt ist, ist   Teil III   nicht anwendbar. Vielmehr ist

 ,

wie sich aus den von Leonhard Euler und Ernesto Cesàro gefundenen Kettenbruchentwicklungen der eulerschen Zahl     ergibt.[28] Daher ist wegen der Transzendenz der eulerschen Zahl die Zahl     ebenfalls eine transzendente Zahl.

Beispiel II[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Konvergenzkriterium von Pringsheim und sogar nach der oben genannten Folgerung II konvergiert genauso der reguläre Kettenbruch

 .

Hier ist

 ,

wobei     eine Konstante darstellt, welche mit der Euler-Gompertz-Konstanten verwandt ist. Wie Carl Ludwig Siegel gezeigt hat, gehört auch     zu den transzendenten Zahlen.[29] Also ergibt sich auch hier, dass die Zahl     transzendent ist.

Beispiel III[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach der oben genannten Folgerung II konvergiert schließlich auch für beliebiges ,     immer der folgende unendliche Kettenbruch:[30]

Hierfür gilt:

[31]   .

Insbesondere ergibt sich für    :

 

und so

  .

Beispiel IV[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn man in Beispiel III     einsetzt, so erhält man ebenfalls einen konvergenten unendlichen Kettenbruch   , wobei hier die Konvergenz zwar nicht durch das Konvergenzkriterium von Pringsheim, jedoch durch das Seidel-Sternsche Kriterium gesichert ist.

Es gilt nämlich

,

wobei     für die Goldene Zahl steht.[32]

Gegenbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wird in Beispiel III     gesetzt, also gleich der imaginären Einheit, so erhält man keinen konvergenten unendlichen Kettenbruch. Der unendliche Kettenbruch

ist also divergent, obwohl die Reihe

mit       selbst auch divergiert.

Dies zeigt, dass der Satz von Stern-Stolz im Allgemeinen nur eine notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von regulären unendlichen Kettenbrüchen angibt.[33]

Anwendung: Darstellung reeller Zahlen durch negativ-regelmäßige Kettenbrüche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein unendlicher reeller Kettenbruch der Form

(*)

zu natürlicher Zahlen       mit       und zu ganzzahligem Anfangsglied     heißt nach Alfred Pringsheim negativ-regelmäßig.

Die Namensgebung erklärt sich aus der engen Verwandtschaft mit den regelmäßigen Kettenbrüchen, welche Pringsheim in seinen Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre ebenfalls behandelt.[34]

Jeder unendliche negativ-regelmäßige Kettenbruch ist nach dem pringsheimschen Konvergenzkriterium konvergent.[35]

Ausgehend davon erhält man den folgenden Darstellungssatz:[36][37]

Formulierung des Darstellungssatzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Menge der unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbrüche und die Menge der reellen Zahlen stehen in Bijektion zueinander in der Weise, dass jede reelle Zahl     durch einen unendlichen negativ-regelmäßigen Kettenbruch der Form (*) darstellbar ist, wobei die Folge der Teilnenner     durch     eindeutig bestimmt ist.

Zusatz I: Algorithmus zur Bestimmung der Teilnenner[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Teilnenner lassen sich durch folgenden Algorithmus gewinnen:[38][39]

Für allgemeines     sei

 

die kleinste ganze Zahl größer     . Man hat also stets

 

und damit unter Benutzung der Gaußklammerfunktion

  .

Folglich ist stets

  .

Damit wird zunächst mittels Rekursion eine Folge     definiert:

   

Dann setzt man

   .

Zusatz II: Unterscheidung rationaler und irrationaler Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine rationale Zahl     ist dadurch gekennzeichnet, dass in ihrer Darstellung (*) ab einem gewissen Index   für       jeder Teilnenner     ist, während sich eine irrationale Zahl     dadurch auszeichnet, dass in ihrer Darstellung (*) unendlich viele Teilnenner     sind   .[36][37]

Beispiele für negativ-regelmäßige Kettenbruchdarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Folgende Beispielen lassen sich angeben:[40][41]

1. Darstellung der 1

Dies folgt wegen direkt aus Teil III des pringsheimschen Kriteriums.

2. Darstellung der Wurzel aus 2
3. Darstellung der Wurzel aus 3
4. Darstellung der Wurzel aus 7
5. Darstellungen zur goldenen Zahl
(a)  
(b)  

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Auf Alfred Pringsheim gehen noch weitere Konvergenzkriterien für unendliche Kettenbrüche zurück. Darüber hinaus gibt es noch eine erhebliche Anzahl anderer Konvergenzkriterien.[42][43][44][45]
  2. Aus dem Darstellungssatz folgt unmittelbar, dass die Menge der reellen Zahlen von überabzählbarer Mächtigkeit ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Steven R. Finch: Mathematical Constants (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 94). Cambridge Univity Press, Cambridge u. a. 2003, ISBN 0-521-81805-2.
  • Lisa Lorentzen, Haakon Waadeland: Continued Fractions with Applications (= Studies in computational mathematics. Band 3). Elsevier, Amsterdam u. a. 1992, ISBN 0-444-89265-6.
  • William B. Jones, W. J. Thron: Continued Fractions. Analytic Theory and Applications (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 11). Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Mass. u. a. 1980, ISBN 0-201-13510-8.
  • Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band I: Elementare Kettenbrüche.. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02021-1 (Reprografischer Nachdruck der 3., verbesserten und erweiterten Auflage, Stuttgart 1954).
  • Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen. Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche.. Teubner Verlag, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02022-X (Reprografischer Nachdruck der 3., verbesserten und erweiterten Auflage, Stuttgart 1957).
  • Alfred Pringsheim: Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche. In: Sitzungsberichte der (kgl.) Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Mathematisch-physikalische (naturwissenschaftliche) Klasse. Band 28, 1898, S. 295–324 (zbmath.org).
  • Alfred Pringsheim: Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre. Erster Band: Zahlenlehre. Dritte Abteilung: Komplexe Zahlen – Reihen mit komplexen Gliedern – Unendliche Produkte und Kettenbrüche (= B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. XL, I.3). Teubner Verlag, Leipzig und Berlin 1921.
  • W. J. Thron: Should the Pringsheim criterion be renamed the Śleszyński criterion? In: Comm. Anal. Theory Contin. Fractions. Band 1, 1992, S. 13–20 (MR1192192).
  • Heinrich Tietze: Über Kriterien für Konvergenz und Irrationalität unendlicher Kettenbrüche. In: Math. Ann. Band 70, 1911, S. 236–265 (digizeitschriften.de).
  • Alfred Pringsheim: Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche. In: Sitzungsberichte der (kgl.) Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München. Mathematisch-physikalische (naturwissenschaftliche) Klasse. Band 28, 1898, S. 295–324 (zbmath.org).
  • Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Elsevier, Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0.
  • Hubert Stanley Wall: Analytic Theory of Continued Fractions. (= Chelsea Scientific Books. Band 207). Chelsea Publishing Company, Bronx, N. Y. 1967, ISBN 0-8284-0207-8 (Reprint der Auflage von Van Norstrand, New York 1948).
  • J. Worpitzky: Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche. In: Friedrichs-Gymnasium und Realschule: Jahresbericht. 1865, S. 3–39.

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Perron: S. 58.
  2. Pringsheim: Vorlesungen … I.3, S. 878 ff.
  3. Lorentzen, Waadeland: S. 30 ff.
  4. Thron: Should the Pringsheim criterion be renamed the Śleszyński criterion? In: Comm. Anal. Theory Contin. Fractions. Band 1, 1992, S. 13 ff.
  5. Da hinsichtlich der Konvergenz und Divergenz der Kettenbrüche das Anfangsglied nie von Einfluss ist, wird es im Folgenden bei der Formulierung der Konvergenzkriterien i. d. R. nicht genannt. Durch die Addition eines Anfangsgliedes bleiben Konvergenz und Divergenz eines Kettenbruchs stets unberührt.
  6. steht für den komplexen Betrag.
  7. Perron: S. 61–62.
  8. Lorentzen, Waadeland: S. 135.
  9. Jones, Thron: S. 94.
  10. Worpitzky: Untersuchungen… In: Jahresbericht. 1865, S. 29–30.
  11. Jones, Thron: S. 10, 94.
  12. Es wird ebenfalls in seinen Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre genannt; s. Band I.3, S. 880.
  13. a b Perron: S. 42.
  14. Lorentzen, Waadeland: S. 94.
  15. Pringsheim: Vorlesungen … I.3, S. 846.
  16. Jones, Thron: S. 79.
  17. Lorentzen, Waadeland: S. 94.
  18. Pringsheim: Vorlesungen … I.3, S. 846, 966.
  19. Allerdings wird im Zusammenhang mit diesem Satz bei H. S. Wall: S. 27–28, 424. auf Helge von Koch und dessen Arbeit Sur un théorème de Stieltjes et sur les fractions continues. In: Bull. Soc. Math. de France. Band 23, 1895, S. 23–40. verwiesen!
  20. Perron: S. 46.
  21. Lorentzen, Waadeland: S. 98.
  22. Pringsheim: Vorlesungen … I.3, S. 764, 962.
  23. Bei Jones, Thron: S. 87. wird der Satz von Seidel-Stern in einer etwas verschärften Fassung dargestellt, welche Aussagen über das Konvergenzverhalten der Näherungsbrüche einbezieht.
  24. Perron: S. 135 ff.
  25. Tietze: Über Kriterien für Konvergenz und Irrationalität unendlicher Kettenbrüche. In: Math. Ann. Band 70, 1911, S. 236 ff.
  26. steht für die Betragsfunktion.
  27. Tietze: Über Kriterien für Konvergenz und Irrationalität unendlicher Kettenbrüche. In: Math. Ann. Band 70, 1911, S. 246 ff.
  28. Perron: S. 19.
  29. Vgl. Finch: S. 423.
  30. Lorentzen, Waadeland: S. 32.
  31. Hier ist der Hauptwert der komplexen Quadratwurzelfunktion gemeint.
  32. Lorentzen, Waadeland: S. 46.
  33. Wall: S. 29.
  34. Die regelmäßigen Kettenbrüche zeichnen sich dadurch aus, dass sie regulär sind, dass alle ihre Teilnenner ab dem Index 1 natürliche Zahlen sind und dass das Anfangsglied jeweils ganzzahlig ist. Der Unterschied zwischen negativ-regelmäßigen Kettenbrüchen und regelmäßigen Kettenbrüchen liegt demnach im Vorzeichen der Teilzähler und darin, dass bei den regelmäßigen Kettenbrüchen auch der Teilnenner 1 zugelassen ist. Man betrachtet in beiden Fällen sowohl endliche als auch unendliche Kettenbrüche. Hier spielen allein die unendlichen Kettenbrüche eine Rolle. Vgl. Pringsheim: Vorlesungen … I.3, S. 752 ff., 773 ff., 812 ff.
  35. Ebenso konvergiert jeder unendliche regelmäßige Kettenbruch, und zwar nach dem Satz von Seidel-Stern; vgl. Pringsheim: Vorlesungen … I.3, S. 773.
  36. a b Pringsheim: Vorlesungen … I.3, S. 819.
  37. a b Sierpiński: S. 337.
  38. Pringsheim: Vorlesungen … I.3, S. 818–819.
  39. Sierpiński: S. 336–337.
  40. Sierpiński: S. 337–338.
  41. Lorentzen, Waadeland: S. 562.
  42. Perron: S. 38 ff.
  43. Jones, Thron: S. 60–146.
  44. Lorentzen, Waadeland: S. 32–36.
  45. Wall: Analytic Theory …. Teil I: Convergence Theory, S. 11–157.