Konvergenzmodul

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der reellen Analysis ist ein Konvergenzmodul eine Funktion, welche angibt, wie schnell eine konvergente Folge konvergiert. Konvergenzmoduln werden oft in der berechenbaren Analysis und konstruktiven Mathematik verwendet.

Wenn eine Folge reeller Zahlen gegen eine reelle Zahl konvergiert, dann gibt es per definitionem für jedes reelle eine natürliche Zahl so, dass , falls . Ein Konvergenzmodul ist im Wesentlichen eine Funktion, die, gegeben , einen entsprechenden Wert von berechnet.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei einen konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert . Es gibt zwei Arten, einen Konvergenzmodul als eine Funktion von den natürlichen Zahlen in die natürlichen Zahlen zu definieren:

  • Als eine Funktion so, dass für alle gilt: wenn , dann .
  • Als eine Funktion so, dass für alle gilt: wenn , dann . (Diese existiert, da jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.)

Die letztere Definition wird oft in konstruktiven Szenarien eingesetzt, wobei der Grenzwert unter Umständen mit der konvergenten Folge identifiziert wird. Manche Autoren verwenden eine alternative Definition, die gegen ersetzt.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Klaus Weihrauch (2000), Computable Analysis.